الاعداد المركبة / محاضرة 3

العنوان: فهم الأعداد المركبة وقوى العدد التخيلي i

المقدمة

تمثل الأعداد المركبة امتدادًا للنظام العددي الحقيقي، وهي ضرورية في مجالات متعددة مثل الهندسة، الفيزياء، والرياضيات. تُستخدم بشكل خاص في حل المعادلات التي لا تحتوي على حلول حقيقية. تعتمد الأعداد المركبة على الوحدة التخيلية i، والتي تُعرَّف على النحو التالي:

$i = \sqrt{-1}$

وهذا يؤدي إلى الخاصية الأساسية:

$i^2 = -1$

يُعد فهم قوى i أمرًا مهمًا للعمل بفعالية مع الأعداد المركبة.

ما هي الأعداد المركبة؟

العدد المركب هو أي عدد يمكن التعبير عنه بالشكل التالي:

$z = a + bi$

حيث:

• 
  $a$ 

  هو الجزء الحقيقي،

• 
  $b$ 

  هو الجزء التخيلي،

• 
  $i$ 

  هي الوحدة التخيلية.

على سبيل المثال،

$3 + 4i$

و

$-2 – 5i$

هما عددان مركبان.

دورة قوى العدد التخيلي i

نظرًا لأن

$i^2 = -1$

، فإن القوى الأعلى من i تتبع نمطًا متكررًا كل أربع دورات:

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = -i$

$i^4 = 1$

$i^5 = i$

(وتستمر الدورة في التكرار)

الصيغة العامة لـ i^n

لحساب أي قوة للعدد i، نستخدم الحسابات المودولو:

$i^n = i^{(n \mod 4)}$

حيث يُستخدم باقي القسمة عند قسمة n على 4 لتحديد النتيجة:

• إذا كان n mod 4 = 0، فإن
  $i^n = 1$ 
• إذا كان n mod 4 = 1، فإن
  $i^n = i$ 
• إذا كان n mod 4 = 2، فإن
  $i^n = -1$ 
• إذا كان n mod 4 = 3، فإن
  $i^n = -i$ 

أمثلة:

1. 
   $i^7$ 

   $7 \mod 4 = 3 \Rightarrow i^7 = i^3 = -i$ 

2. 
   $i^{10}$ 

   $10 \mod 4 = 2 \Rightarrow i^{10} = i^2 = -1$ 

3. 
   $i^{15}$ 

   $15 \mod 4 = 3 \Rightarrow i^{15} = i^3 = -i$ 

تطبيقات الأعداد المركبة

تلعب الأعداد المركبة دورًا مهمًا في العديد من المجالات العلمية والهندسية، مثل:

• الهندسة الكهربائية: تُستخدم في تحليل دوائر التيار المتردد (حساب الممانعة).
• الفيزياء: ضرورية في ميكانيكا الكم وتحليل الموجات.
• الرياضيات: تُستخدم في التحليل العقدي والمعادلات التفاضلية وأساليب التحويل.
• معالجة الإشارات: تُستخدم في تحويل فورييه ومعالجة الصور.

الخاتمة

يعد فهم الأعداد المركبة والطبيعة الدورية لقوى i أمرًا أساسيًا لحل المشكلات في الرياضيات والهندسة المتقدمة. من خلال الاستفادة من الدورة المتكررة لـ i، يمكننا تبسيط العمليات الحسابية التي تتضمن القوى العالية للأعداد التخيلية بسهولة.