نتيجة مبرهنة ديموافر / محاضرة 32

إيجاد الجذور التربيعية للعدد المركب باستخدام نتيجة ديموافر

مقدمة في هذا التقرير، سنوضح كيفية إيجاد الجذور التربيعية للعدد المركب باستخدام نتيجة ديموافر. سنطبق ذلك على العدد المركب $2\sqrt{3} – 3i$، مع توضيح جميع الخطوات اللازمة.

الخطوة 1: تحويل العدد المركب إلى الصورة القطبية لإيجاد الجذور التربيعية، نبدأ بتحويل العدد المركب $z = 2\sqrt{3} – 3i$ إلى الصورة القطبية:

1. حساب الطول (المقياس) $r$:

   $$r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$$حيث:

   $$a = 2\sqrt{3}, \quad b = -3$$ $$r = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{12 + 9} = \sqrt{21}$$

2. حساب الزاوية $\theta$ (الطور):

   $$\theta = \tan^{-1} \left(\frac{b}{a}\right) = \tan^{-1} \left(\frac{-3}{2\sqrt{3}}\right)$$بعد التبسيط:

   $$\tan^{-1} \left(\frac{-\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$$وبذلك، يصبح العدد المركب في الصورة القطبية:

   $$z = \sqrt{21} \left( \cos \left(-\frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) \right)$$

الخطوة 2: إيجاد الجذور التربيعية باستخدام ديموافر باستخدام نتيجة ديموافر، الجذور التربيعية للعدد المركب تُعطى بالصيغة:

$$w_k = \sqrt{r} \left( \cos \frac{\theta + 2k\pi}{2} + i \sin \frac{\theta + 2k\pi}{2} \right), \quad k = 0,1$$

حيث:

$$\sqrt{r} = \sqrt{\sqrt{21}} = \sqrt[4]{21}$$

1. الجذر الأول $w_0$ عندما $k = 0$:

   $$\theta_0 = \frac{-\frac{\pi}{6} + 2(0)\pi}{2} = -\frac{\pi}{12}$$ $$w_0 = \sqrt[4]{21} \left( \cos(-\frac{\pi}{12}) + i \sin(-\frac{\pi}{12}) \right)$$

2. الجذر الثاني $w_1$ عندما $k = 1$:

   $$\theta_1 = \frac{-\frac{\pi}{6} + 2(1)\pi}{2} = \frac{11\pi}{12}$$ $$w_1 = \sqrt[4]{21} \left( \cos(\frac{11\pi}{12}) + i \sin(\frac{11\pi}{12}) \right)$$

النتائج النهائية بناءً على ما سبق، فإن الجذور التربيعية للعدد المركب $2\sqrt{3} – 3i$ هي:

$$w_0 = \sqrt[4]{21} \left( \cos(-\frac{\pi}{12}) + i \sin(-\frac{\pi}{12}) \right)$$ $$w_1 = \sqrt[4]{21} \left( \cos(\frac{11\pi}{12}) + i \sin(\frac{11\pi}{12}) \right)$$

الخاتمة في هذا التقرير، قمنا باستخدام نتيجة ديموافر لإيجاد الجذور التربيعية لعدد مركب. تتضمن العملية تحويل العدد إلى الصورة القطبية ثم استخدام الصيغة العامة لحساب الجذور. يمكن تحويل النتيجة إلى الصورة الجبرية باستخدام قيم جيب وجيب تمام الزوايا عند الحاجة.

السوأل الثاني

إيجاد الجذور التربيعية للعدد المركب باستخدام نتيجة ديموافر

مقدمة يهدف هذا التقرير إلى إيجاد الجذور التربيعية للعدد المركب $125i$ باستخدام نتيجة ديموافر، والتي تعتمد على تحويل العدد المركب إلى الصورة القطبية ثم استخدام العلاقة العامة للجذور.

الخطوة 1: كتابة العدد المركب بالصورة القطبية

العدد المركب المعطى هو:

$$z = 125i$$

بتمثيله على الصورة القطبية $z = r e^{i\theta}$، نجد:

• القيمة المطلقة $r$ تحسب كالتالي:

  $$r = |z| = \sqrt{0^2 + 125^2} = \sqrt{15625} = 125$$

• زاوية العدد المركب $\theta$ تحسب باستخدام:

  $$\theta = \tan^{-1} \left( \frac{125}{0} \right)$$بما أن العدد يقع على المحور التخيلي الموجب، فإن:

  $$\theta = \frac{\pi}{2}$$

بالتالي، يمكننا كتابة العدد بالصورة القطبية:

$$z = 125 e^{i \frac{\pi}{2}}$$

الخطوة 2: إيجاد الجذور باستخدام ديموافر

تنص نظرية ديموافر على أن الجذور $n$ لعدد مركب $z$ تعطى بالعلاقة:

$$w_k = r^{\frac{1}{n}} e^{i \frac{(\theta + 2k\pi)}{n}}, \quad k = 0, 1, \dots, n-1$$

بما أننا نبحث عن الجذور التربيعية، فنأخذ $n = 2$:

1. حساب جذر القيمة المطلقة:

   $$\sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$

2. حساب الزوايا:

   $$\theta_k = \frac{\frac{\pi}{2} + 2k\pi}{2}$$لكل من $k = 0, 1$:

   • لـ $k = 0$: $$\theta_0 = \frac{\pi}{4}$$
   • لـ $k = 1$: $$\theta_1 = \frac{5\pi}{4}$$

الخطوة 3: التعبير عن الجذور في الصورة الجبرية

باستخدام الشكل القطبي:

$$w_k = 5\sqrt{5} \left(\cos \theta_k + i \sin \theta_k \right)$$

• للزاوية $\theta_0 = \frac{\pi}{4}$:

  $$w_0 = 5\sqrt{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + i 5\sqrt{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$w_0 = \frac{5\sqrt{10}}{2} + i \frac{5\sqrt{10}}{2}$$

• للزاوية $\theta_1 = \frac{5\pi}{4}$:

  $$w_1 = 5\sqrt{5} \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + i 5\sqrt{5} \times \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ $$w_1 = -\frac{5\sqrt{10}}{2} – i \frac{5\sqrt{10}}{2}$$

النتيجة النهائية

الجذور التربيعية للعدد $125i$ هي:

$$w_0 = \frac{5\sqrt{10}}{2} + i \frac{5\sqrt{10}}{2}, \quad w_1 = -\frac{5\sqrt{10}}{2} – i \frac{5\sqrt{10}}{2}$$