اثرائيات القطع الزائد

السؤال:

جد معادلة القطع الزائد الذي إحدى بؤرتيه هي نقطة مركز الدائرة
$x^2 + y^2 – 16y + 15 = 0$
ونصف طول محوره المرافق يساوي نصف قطر تلك الدائرة.

لحل هذا السؤال، سنتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها

معادلة الدائرة المعطاة هي:

$$x^2 + y^2 – 16y + 15 = 0$$

نرتبها على صورة المركز والنصف قطر:

إكمال المربع للمتغير $y$

$$x^2 + (y^2 – 16y) + 15 = 0$$

نضيف ونطرح $\left(\frac{16}{2}\right)^2 = 64$ داخل القوس:

$$x^2 + (y^2 – 16y + 64 – 64) + 15 = 0$$ $$x^2 + (y – 8)^2 – 64 + 15 = 0$$ $$x^2 + (y – 8)^2 = 49$$

وهذا يعني أن معادلة الدائرة هي:

$$(x – 0)^2 + (y – 8)^2 = 7^2$$

ومنها:

• مركز الدائرة $C(0,8)$
• نصف القطر $R = 7$

2. تحديد خصائص القطع الزائد

• بما أن إحدى بؤرتي القطع الزائد هي مركز الدائرة، أي أن $C(0,8)$ هو أحد البؤرتين.
• نصف طول المحور المرافق يساوي نصف قطر الدائرة، أي أن $b = 7$.

3. معادلة القطع الزائد

بما أن القطع الزائد رأسي الاتجاه (لأن البؤرة تقع على المحور $y$)، تكون معادلته من الشكل:

$$\frac{(y – k)^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1$$

حيث:

• $(h,k)$ هو مركز القطع الزائد، وهو نفسه مركز الدائرة $(0,8)$.
• $b = 7$ كما وجدنا سابقًا.
• نحتاج إلى حساب $a^2$ باستخدام العلاقة مع البؤرتين.

حساب $c$ (المسافة من المركز إلى البؤرة)

• إحدى بؤرتي القطع الزائد تقع عند $(0,8)$، أي أن $c = 8$ (المسافة من الأصل إلى المركز $(0,8)$).

حساب $a$ باستخدام العلاقة:

$$c^2 = a^2 + b^2$$ $$8^2 = a^2 + 7^2$$ $$64 = a^2 + 49$$ $$a^2 = 15$$

4. كتابة معادلة القطع الزائد

$$\frac{(y – 8)^2}{15} – \frac{x^2}{49} = 1$$

وهذه هي معادلة القطع الزائد المطلوبة.

السؤال هو:

جد معادلة القطع الزائد الذي إحدى بؤرتيه هي نقطة مركز الدائرة
ومعادلة الدائرة المعطاة هي:

$$x^2 + y^2 – 16y + 15 = 0$$

ونصف طول محوره المرافق يساوي نصف قطر تلك الدائرة.

لحل هذا السؤال، نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: إيجاد مركز الدائرة ونصف قطرها

معادلة الدائرة المعطاة:

$$x^2 + y^2 – 16y + 15 = 0$$

نرتب المعادلة بحيث نكمل المربع لمتغير $y$:

1. إعادة ترتيب المعادلة:

   $$x^2 + y^2 – 16y = -15$$

2. نكمل المربع للحدود التي تحتوي على $y$:
   • الحد من الدرجة الأولى في $y$ هو $-16y$، لذا نضيف ونطرح $\left(\frac{-16}{2}\right)^2 = 64$:

   $$x^2 + (y^2 – 16y + 64) = -15 + 64$$ $$x^2 + (y – 8)^2 = 49$$

هذه هي معادلة دائرة مركزها $(0,8)$ ونصف قطرها:

$$r = \sqrt{49} = 7$$

الخطوة 2: تحديد معطيات القطع الزائد

• إحدى بؤرتي القطع الزائد تقع في مركز الدائرة، أي عند النقطة $(0,8)$.
• نصف طول المحور المرافق $b$ يساوي نصف قطر الدائرة، أي $b = 7$.

الخطوة 3: إيجاد معادلة القطع الزائد

بما أن البؤرة تقع على المحور العمودي (الرأسي)، فإن معادلة القطع الزائد تكون من الشكل:

$$\frac{(y – k)^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1$$

تحديد قيمة $a$

بما أن إحدى البؤرتين تقع عند مركز الدائرة $(0,8)$، فالمسافة بين مركز القطع الزائد والبؤرة تمثل $c$، أي:

$$c = 8$$

ونعلم أن في القطع الزائد العلاقة بين المعاملات هي:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

وبالتعويض:

$$8^2 = a^2 + 7^2$$ $$64 = a^2 + 49$$ $$a^2 = 15$$

الخطوة 4: كتابة معادلة القطع الزائد

بما أن مركز القطع الزائد عند نقطة الأصل $(0,0)$ (لأن البؤرة تقع عند $(0,8)$)، فإن المعادلة تكون:

$$\frac{y^2}{15} – \frac{x^2}{49} = 1$$

الإجابة النهائية

$$\frac{y^2}{15} – \frac{x^2}{49} = 1$$