قوانين المعدلات المرتبطة بالزمن في المشتقات

أولاً: الأشكال الهندسية

تُستخدم المشتقات في تحديد مدى تغيّر بُعد معيّن لشكل هندسي مع مرور الزمن. تُسمّى هذه المسائل في حساب التفاضل “المعدلات المرتبطة بالزمن”، وتُعرف بالإنجليزية باسم (Related Rates).

كيف نحل مسائل المعدلات المرتبطة بالزمن؟

نستخدم هذه الخطوات الأساسية:

1. نحدّد الشكل الهندسي المطلوب دراسته.
2. نحدّد المتغيرات المرتبطة بالزمن.
3. نكتب العلاقة الرياضية المناسبة التي تربط بين المتغيرات.
4. نشتق الطرفين بالنسبة للزمن $t$.
5. نُعوّض بالقيم المُعطاة ونحصل على المعدل المطلوب.

أمثلة محلولة توضيحية:

المثال (1): معدل تغير مساحة دائرة بالنسبة للزمن:

السؤال: دائرة نصف قطرها $r$ يزداد بمعدل $3$ سم/ث، أوجد معدل تغير مساحة الدائرة عندما يكون نصف قطرها $5$ سم.

الحل:

• نكتب قانون مساحة الدائرة:

$$A = \pi r^2$$

• نشتق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن $t$:

$$\frac{dA}{dt} = 2\pi r \frac{dr}{dt}$$

• نعوض القيم المعطاة:

$$r = 5 \text{ cm},\quad \frac{dr}{dt} = 3 \text{ cm/sec}$$

• يصبح الحل:

$$\frac{dA}{dt} = 2\pi (5)(3) = 30\pi \quad\text{سم}^2/\text{ثانية}$$

أي أن مساحة الدائرة تتغير بمعدل $30\pi$ سم² في الثانية.

المثال (2): معدل تغيّر حجم مكعب:

السؤال: مكعبٌ يزداد طول ضلعه بمعدل $2$ سم/ث، ما معدل تغيّر حجمه عندما يكون طول ضلعه $4$ سم؟

الحل:

• نكتب قانون حجم المكعب:

$$V = s^3$$

• نشتق المعادلة بالنسبة للزمن:

$$\frac{dV}{dt} = 3s^2 \frac{ds}{dt}$$

• نعوض القيم المعطاة:

$$s = 4 \text{ cm},\quad \frac{ds}{dt} = 2 \text{ cm/sec}$$

• يصبح الحل:

$$\frac{dV}{dt} = 3(4)^2(2) = 96 \quad\text{سم}^3/\text{ثانية}$$

إذن، الحجم يزداد بمعدل $96$ سم³ في الثانية.

المثال (3): معدل تغير ارتفاع مخروط:

السؤال: مخروط حجمه ثابت يساوي $100$ سم³، نصف قطر قاعدته يزداد مع الزمن. إذا كان نصف القطر $r$ يساوي $5$ سم ويزداد بمعدل $1$ سم/ث، فما معدل تناقص الارتفاع $h$ عند هذه اللحظة؟

الحل:

• قانون حجم المخروط:

$$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$$

• الحجم ثابت $\frac{dV}{dt}=0$، نشتق طرفي العلاقة بالنسبة للزمن:

$$0 = \frac{1}{3}\pi \left[2rh \frac{dr}{dt} + r^2\frac{dh}{dt}\right]$$

• نعوض القيم:

$$r=5,\quad \frac{dr}{dt}=1,\quad V=100$$

• أولاً، نوجد ارتفاع المخروط $h$ من العلاقة الأصلية:

$$100 = \frac{1}{3}\pi(5)^2h \Rightarrow h = \frac{100 \times 3}{25\pi} = \frac{12}{\pi}$$

• نعوض في المشتقة:

$$0 = \frac{1}{3}\pi\left[2(5)\left(\frac{12}{\pi}\right)(1) + (5)^2\frac{dh}{dt}\right]$$

• نبسّط المعادلة:

$$0 = \frac{1}{3}\pi\left[\frac{120}{\pi} + 25\frac{dh}{dt}\right]$$ $$0 = \frac{120}{3} + \frac{25\pi}{3}\frac{dh}{dt}$$ $$0 = 40 + \frac{25\pi}{3}\frac{dh}{dt}$$

• نجد $\frac{dh}{dt}$:

$$\frac{25\pi}{3}\frac{dh}{dt}=-40 \quad\Rightarrow\quad \frac{dh}{dt} = -\frac{120}{25\pi} = -\frac{24}{5\pi}\;\text{سم/ثانية}$$

أي أن ارتفاع المخروط يتناقص بمعدل $\frac{24}{5\pi}$ سم/ثانية.

ملخص الخطوات العامة:

1. كتابة العلاقة الهندسية بوضوح.
2. اشتقاق العلاقة بالنسبة للزمن.
3. التعويض بالقيم المعطاة.
4. إيجاد القيمة المطلوبة.

ثانيًا: الأشكال المجسمة (في المعدلات المرتبطة بالزمن)

يقصد بالأشكال المجسمة الأجسام ثلاثية الأبعاد (التي لها طول وعرض وارتفاع)، مثل:

• المنشور (Prism)
• المكعب (Cube)
• الأسطوانة (Cylinder)
• المخروط (Cone)
• الكرة (Sphere)

عندما نتعامل مع هذه الأجسام في مسائل المعدلات المرتبطة بالزمن، فإننا ندرس كيفية تغيّر أبعادها وحجومها أو مساحاتها الجانبية مع تغيّر الزمن.

خطوات عامة لحل مسائل الأشكال المجسمة:

1. حدّد العلاقة الهندسية (قانون الحجم أو المساحة) التي تربط الأبعاد.
2. اشتق هذه العلاقة بالنسبة للزمن (t).
3. عوّض القيم المعطاة وأوجد المعدل المطلوب.

مثال توضيحي لحجم منشور مستطيل:

السؤال: منشور مستطيل تتغير أبعاده مع الزمن. إذا كان طوله $l$ يزداد بمعدل 2 سم/ث، وعرضه $w$ يزداد بمعدل 1 سم/ث، بينما ارتفاعه $h$ ثابت ويساوي 4 سم، فما معدل تغير حجم المنشور في اللحظة التي يكون فيها الطول 5 سم والعرض 3 سم؟

الحل:

• حجم المنشور المستطيل:

$$V = l \times w \times h$$

• نشتق المعادلة بالنسبة للزمن:

$$\frac{dV}{dt} = h\left(l\frac{dw}{dt}+w\frac{dl}{dt}\right)$$

• نعوض القيم المعطاة:

$$l=5,\, w=3,\, h=4,\quad \frac{dl}{dt}=2,\, \frac{dw}{dt}=1$$

• نحسب المعدل:

$$\frac{dV}{dt} = 4\left(5\times1 + 3\times2\right) = 4(5+6) = 44\,\text{سم}^3/\text{ث}$$

أي أنّ حجم المنشور يزداد بمعدل $44$ سم³ لكل ثانية في هذه اللحظة.

بهذه الطريقة، يمكن التعامل مع جميع الأشكال المجسمة الأخرى.
إذا رغبت في شرح إضافي لأي شكل مجسم آخر، فلا تتردد في طلب ذلك.