التكامل الغير محدد / محاضرة 3 – حالات التكامل

حالات التكامل للدوال الجبرية:

أولاً: تكامل الثابت (Constant)

صيغة عامة:

$$\int a\,dx = ax + C$$

الشرح:

عند تكامل عدد ثابت $a$، يكون الناتج هو ضرب العدد الثابت في المتغير $x$، لأن اشتقاق $ax$ يعيد العدد الثابت.

مثال:

$$\int 3\,dx = 3x + C$$

ثانياً: تكامل الدالة الأسية الجبرية (قوة لـ $x$)

للدوال على شكل $x^n$:

إذا كانت القوة $n \neq -1$:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$

إذا كانت القوة $n = -1$:

$$\int x^{-1}\,dx = \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x|+C$$

الشرح:

تُضاف 1 إلى الأس، ثم يُقسم الناتج على الأس الجديد. في حالة $n = -1$ تظهر دالة اللوغاريتم الطبيعي، لأن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي هي $\frac{1}{x}$.

مثال:

• $\int x^2\,dx=\frac{x^3}{3}+C$
• $\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$

ثالثاً: تكامل الدالة الخطية مرفوعة لقوة

للدوال من الشكل $(ax+b)^n$:

إذا كانت $n \neq -1$:

$$\int (ax+b)^n\,dx=\frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C$$

إذا كانت $n = -1$:

$$\int (ax+b)^{-1}\,dx=\frac{1}{a}\ln|ax+b|+C$$

الشرح:

يتم التعامل مع الدالة بنفس طريقة $x^n$، لكن نراعي مشتقة ما داخل القوس (هنا مشتقة $ax+b$ تساوي $a$، نقسم على المشتقة).

مثال:

• $\int (2x+3)^4\,dx=\frac{(2x+3)^5}{2\times 5}+C$

رابعاً: تكامل الجذور (Radicals)

تُحوّل الجذور أولًا إلى صيغة أسية:

$$\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$$

ثم تطبق قاعدة القوة المذكورة أعلاه.

الشرح:

الجذر هو قوة كسرية، نستخدم معه نفس قاعدة التكامل السابقة.

مثال:

$$\int \sqrt{x}\,dx=\int x^{\frac{1}{2}}\,dx=\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$$

خامساً: تكامل مجموع أو طرح دالتين

$$\int[f(x)\pm g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx\pm \int g(x)\,dx$$

الشرح:

التكامل يتوزع على الجمع أو الطرح بسهولة.

مثال:

$$\int (3x^2 – 4x)\,dx=\int 3x^2\,dx – \int 4x\,dx=x^3 – 2x^2 + C$$

سادساً: تكامل دالة مضروبة في ثابت

$$\int a\,f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx$$

الشرح:

الثابت يخرج خارج إشارة التكامل.

مثال:

$$\int 5x^4\,dx=5\int x^4\,dx=5\times\frac{x^5}{5}+C=x^5+C$$

سابعاً: تكامل حاصل ضرب دالتين جبريتين

هنا عادة نستخدم التكامل بالأجزاء إذا كانت الدالتين لا يمكن تبسيطهما.

صيغة التكامل بالأجزاء:

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du$$

الشرح:

نختار إحدى الدالتين لتكون $u$ والأخرى تكون $dv$، ثم نوجد $du$ و $v$.

مثال توضيحي:

تكامل $x e^x\,dx$:

يصبح الحل:

$$\int x e^x\,dx=x e^x-\int e^x\,dx=x e^x-e^x+C$$

ثامناً: تكامل قسمة دالتين جبريتين (الكسور الجزئية)

عندما يكون لديك تكامل للكسر الجبري:

• نستخدم القسمة الطويلة إذا كانت درجة البسط ≥ درجة المقام.
• إذا كانت درجة البسط أقل، نستخدم الكسور الجزئية.

مثال على الكسور الجزئية:

$$\int\frac{1}{x^2-1}\,dx$$

نحلل المقام:

$$\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$$

بإيجاد $A$ و $B$ ثم التكامل، نحصل على:

$$\int\frac{1}{x^2-1}\,dx=\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1|+C$$

نصائح مهمة عند التكامل:

• تأكد من تبسيط الدالة قبل التكامل.
• انتبه للأسس والقوى السالبة والموجبة.
• تذكر أن تضع دائمًا الثابت $+C$ في نهاية التكامل.