الفصل الرابع – تمارين التكامل في الحجوم الدورانية و المساحة

التكامل في الحجوم الدورانية والمساحة

التكامل يستخدم بشكل أساسي في حساب المساحات والحجوم، وخاصة عند دوران الأشكال حول محور معين.

1. حساب المساحة باستخدام التكامل

لحساب المساحة المحصورة بين منحنيين $f(x)$ و $g(x)$ بين حدود $a$ و $b$:

$$A = \int_a^b | f(x) – g(x) | \, dx$$

🔹 إذا كان لدينا منحنى واحد فقط فوق المحور السيني، فإن المساحة تحت المنحنى تكون:

$$A = \int_a^b f(x) \, dx$$

2. حساب الحجوم الدورانية باستخدام التكامل

يتم استخدام طريقتين رئيسيتين لحساب الحجوم الدورانية عند دوران منطقة حول محور معين:

أ. طريقة الأقراص (Disk Method)

تستخدم عند دوران منحنى حول محور الأفقي (عادةً x). إذا كان الشكل يدور حول المحور $x$:

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$$

🔹 إذا كان الدوران حول المحور $y$ وكانت الدالة بالصورة $x = f(y)$:

$$V = \pi \int_c^d [f(y)]^2 \, dy$$

ب. طريقة الحلقات (Washer Method)

تستخدم عندما يكون هناك فراغ داخلي (أي دوران بين منحنيين $f(x)$ و $g(x)$ حيث $f(x)$ هو الخارجي و $g(x)$ هو الداخلي):

$$V = \pi \int_a^b \left( [f(x)]^2 – [g(x)]^2 \right) dx$$

ج. طريقة القشرة الأسطوانية (Shell Method)

تستخدم عندما يتم الدوران حول محور رأسي (عادةً y)، بحيث نحسب الحجوم باستخدام القشرة الأسطوانية:

$$V = 2\pi \int_a^b x f(x) \, dx$$

🔹 إذا كان الدوران حول المحور $y$ والدالة بالصورة $x = f(y)$:

$$V = 2\pi \int_c^d y f(y) \, dy$$

مثال تطبيقي

إذا كان لدينا منحنى $y = x^2$ ونريد حساب الحجم الناتج عند دورانه حول المحور $x$ من $x = 0$ إلى $x = 2$، فإننا نستخدم طريقة الأقراص:

$$V = \pi \int_0^2 (x^2)^2 \, dx = \pi \int_0^2 x^4 \, dx$$ $$V = \pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^2 = \pi \left( \frac{32}{5} – 0 \right) = \frac{32\pi}{5}$$

هذا هو الرسم البياني الذي يمثل الحجم الناتج عن دوران المنحنى $y = x^2$ حول محور $X$. يظهر الشكل الدوراني الناتج عند تدوير المنحنى حول المحور، مما يشكل مجسمًا ثلاثي الأبعاد يمكن حساب حجمه باستخدام طريقة الأقراص.

السؤال: رقم 1

جد حجم المنطقة المحددة من دوران المنحنى

$$y = \sqrt{x}$$

حول محور السينات حيث

$$0 \leq x \leq 4$$

الحل:

بما أن الدوران يتم حول محور السينات (x-axis)، فإننا نستخدم طريقة الأقراص (Disk Method)، والتي تعطي حجم الجسم الدوراني وفقًا للصيغة:

$$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 \, dx$$

حيث:

• $f(x) = \sqrt{x}$
• حدود التكامل: $a = 0$ و $b = 4$

1. نحسب مربع الدالة:

$$[f(x)]^2 = (\sqrt{x})^2 = x$$

2. نحسب التكامل:

$$V = \pi \int_0^4 x \, dx$$

نحسب التكامل:

$$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$$

نطبق الحدود:

$$V = \pi \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^4$$

3. التعويض بالحدود:

$$V = \pi \left( \frac{4^2}{2} – \frac{0^2}{2} \right)$$ $$= \pi \left( \frac{16}{2} – 0 \right)$$ $$= \pi \times 8$$ $$= 8\pi$$

الإجابة النهائية:

$$V = 8\pi$$

هذا هو الرسم البياني الذي يمثل الحجم الناتج عن دوران المنحنى $y = \sqrt{x}$ حول محور $X$. كما نرى، ينتج عن الدوران شكل ثلاثي الأبعاد يشبه القمع المقلوب، والذي يمكن حساب حجمه باستخدام طريقة الأقراص.

السؤال: رقم 3

جد حجم المنطقة المحددة من دوران المنحنى

$$x = \frac{1}{\sqrt{y}}$$

حول محور الصادات حيث

$$1 \leq y \leq 4$$

الحل:

بما أن الدوران يتم حول محور الصادات (y-axis)، فإننا نستخدم طريقة القشرة الأسطوانية (Shell Method)، والتي تعطي حجم الجسم الدوراني وفقًا للصيغة:

$$V = 2\pi \int_a^b \text{(نصف القطر)} \times \text{(الارتفاع)} \, dy$$

حيث:

• نصف القطر هو $x = \frac{1}{\sqrt{y}}$
• الارتفاع هو عرض الشريحة المتعامدة مع محور الصادات وهو 1.
• حدود التكامل: $y = 1$ إلى $y = 4$.

1. صيغة التكامل:

$$V = 2\pi \int_1^4 \frac{1}{\sqrt{y}} \cdot 1 \, dy$$

2. تبسيط التكامل:

$$V = 2\pi \int_1^4 y^{-\frac{1}{2}} \, dy$$

نحسب التكامل باستخدام قاعدة القوى:

$$\int y^n \, dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}, \quad \text{عندما } n \neq -1$$ $$\int y^{-\frac{1}{2}} \, dy = \frac{y^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2y^{\frac{1}{2}}$$

3. حساب التكامل عند الحدود:

$$V = 2\pi \times \left[ 2y^{\frac{1}{2}} \right]_1^4$$ $$= 4\pi \left( 4^{\frac{1}{2}} – 1^{\frac{1}{2}} \right)$$ $$= 4\pi \left( 2 – 1 \right)$$ $$= 4\pi \times 1 = 4\pi$$

الإجابة النهائية:

$$V = 4\pi$$

هذا هو الرسم البياني الذي يمثل الحجم الناتج عن دوران المنحنى $x = \frac{1}{\sqrt{y}}$ حول محور $Y$. كما نرى، ينتج عن الدوران شكل ثلاثي الأبعاد يشبه الأسطوانة المتسعة عند القاعدة.

السؤال: رقم 1 في المساحات

جد المساحة المحددة بالمنحنى:

$$f(x) = x^3 – 4x$$

ومحور السينات، وعلى الفترة:

$$[-2, 2]$$

الحل:

لحساب المساحة المحصورة بين المنحنى $f(x)$ ومحور السينات، نستخدم التكامل المحدد مع القيمة المطلقة:

$$A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$$

حيث:

• حدود التكامل: $a = -2$، $b = 2$.
• نحدد النقاط التي تقطع المنحنى مع محور السينات لحساب الفترات الصحيحة للتكامل.

1. إيجاد جذور المعادلة $x^3 – 4x = 0$

نحلل المعادلة:

$$x(x^2 – 4) = 0$$ $$x(x – 2)(x + 2) = 0$$

إذن، نقاط التقاطع مع محور السينات هي:

$$x = -2, \quad x = 0, \quad x = 2$$

هذا يعني أن التكامل سيتم تجزئته إلى فترتين:

1. من $-2$ إلى $0$: هنا يكون $f(x) \leq 0$ لذا نأخذ القيمة المطلقة $|f(x)| = -(x^3 – 4x)$.
2. من $0$ إلى $2$: هنا يكون $f(x) \geq 0$ لذا $|f(x)| = f(x)$ مباشرة.

2. حساب التكامل لكل فترة

(1) التكامل من $-2$ إلى $0$:

$$A_1 = \int_{-2}^{0} -(x^3 – 4x) \,dx = \int_{-2}^{0} (-x^3 + 4x) \,dx$$

نحسب التكامل:

$$\int (-x^3 + 4x) \,dx = -\frac{x^4}{4} + 2x^2$$

نطبق الحدود:

$$A_1 = \left[ -\frac{x^4}{4} + 2x^2 \right]_{-2}^{0}$$ $$= \left( -\frac{0^4}{4} + 2(0)^2 \right) – \left( -\frac{(-2)^4}{4} + 2(-2)^2 \right)$$ $$= (0 – 0) – \left( -\frac{16}{4} + 2(4) \right)$$ $$= 0 – \left( -4 + 8 \right)$$ $$= 0 – 4 = 4$$

(2) التكامل من $0$ إلى $2$:

$$A_2 = \int_{0}^{2} (x^3 – 4x) \,dx$$

نحسب التكامل:

$$\int (x^3 – 4x) \,dx = \frac{x^4}{4} – 2x^2$$

نطبق الحدود:

$$A_2 = \left[ \frac{x^4}{4} – 2x^2 \right]_{0}^{2}$$ $$= \left( \frac{2^4}{4} – 2(2)^2 \right) – \left( \frac{0^4}{4} – 2(0)^2 \right)$$ $$= \left( \frac{16}{4} – 8 \right) – (0 – 0)$$ $$= (4 – 8) – 0$$ $$= -4$$

بما أن المساحة لا تكون سالبة، نأخذ القيمة المطلقة:

$$A_2 = 4$$

3. حساب المساحة الكلية

$$A = A_1 + A_2 = 4 + 4 = 8$$

الإجابة النهائية:

$$A = 8$$