اسئلة و تمارين في المعادلات التفاضلية / محاضرة السادسة

شرح و حل تمارين و اسئلة في المعادلات التفاضلية

السؤال: رقم 11

حل المعادلة التفاضلية التالية:

$$e^{x + 2y} + \frac{dy}{dx} = 0$$

الحل:

1. إعادة ترتيب المعادلة

ننقل الحد $e^{x + 2y}$ إلى الطرف الآخر:

$$\frac{dy}{dx} = -e^{x + 2y}$$

2. فصل المتغيرات

نكتب المعادلة بشكل يسمح بفصل المتغيرات:

$$\frac{dy}{dx} = -e^x e^{2y}$$

نقسم الطرفين على $e^{2y}$:

$$e^{-2y} dy = -e^x dx$$

3. التكامل للطرفين

نحسب التكامل لكل طرف.

تكامل الطرف الأيسر:

$$\int e^{-2y} dy = \int e^{-2y} dy = \frac{e^{-2y}}{-2} = -\frac{1}{2} e^{-2y}$$

تكامل الطرف الأيمن:

$$\int -e^x dx = -e^x$$

4. إيجاد الحل العام

$$-\frac{1}{2} e^{-2y} = -e^x + C$$

نضرب في $-2$ للتخلص من الكسر:

$$e^{-2y} = 2e^x – 2C$$

نأخذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين:

$$-2y = \ln |2e^x – 2C|$$

وأخيرًا:

$$y = -\frac{1}{2} \ln |2e^x – 2C|$$

الحل النهائي:

$$y = -\frac{1}{2} \ln |2e^x – 2C|$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل. 🎯

السؤال: رقم 12

حل المعادلة التفاضلية التالية:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x}{3y^2 + e^y}$$

الحل:

1. فصل المتغيرات

نرتب المعادلة بحيث تكون جميع حدود $y$ في طرف و $x$ في الطرف الآخر:

$$(3y^2 + e^y) dy = \cos x \, dx$$

2. التكامل للطرفين

نحسب التكامل لكل طرف على حدة.

تكامل الطرف الأيسر:

$$\int (3y^2 + e^y) dy$$

نحسب كل حد على حدة:

$$\int 3y^2 dy = y^3$$ $$\int e^y dy = e^y$$

إذن:

$$\int (3y^2 + e^y) dy = y^3 + e^y$$

تكامل الطرف الأيمن:

$$\int \cos x \, dx = \sin x$$

3. الحل العام

$$y^3 + e^y = \sin x + C$$

الحل النهائي:

$$y^3 + e^y = \sin x + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل. 🎯

السؤال: رقم 13

حل المعادلة التفاضلية التالية:

$$dy = \sin x \cos^2 y \, dx$$

الحل:

1. إعادة ترتيب المعادلة وفصل المتغيرات

نقسم الطرفين على $\cos^2 y$ للحصول على:

$$\frac{dy}{\cos^2 y} = \sin x \, dx$$

بما أن $\frac{1}{\cos^2 y} = \sec^2 y$، يمكننا إعادة كتابة المعادلة كالتالي:

$$\int \sec^2 y \, dy = \int \sin x \, dx$$

2. التكامل للطرفين

تكامل الطرف الأيسر:

$$\int \sec^2 y \, dy = \tan y$$

تكامل الطرف الأيمن:

$$\int \sin x \, dx = -\cos x$$

3. الحل العام

$$\tan y = -\cos x + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل.

الحل النهائي:

$$\tan y = -\cos x + C$$

وهو الحل العام للمعادلة التفاضلية. 🎯

السؤال: رقم 14

حل المعادلة التفاضلية التالية:

$$\frac{dy}{dx} \cos^3 x = \sin x$$

الحل:

1. إعادة ترتيب المعادلة وفصل المتغيرات

نقسم الطرفين على $\cos^3 x$ للحصول على:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin x}{\cos^3 x}$$

نكتبها على الشكل:

$$dy = \frac{\sin x}{\cos^3 x} dx$$

2. التكامل للطرفين

نلاحظ أن:

$$\frac{\sin x}{\cos^3 x} = \sin x \cos^{-3} x$$

وباستخدام التعويض $u = \cos x$ حيث $du = -\sin x dx$، تصبح المعادلة:

$$\int -u^{-3} du$$

حساب التكامل للطرف الأيسر:

$$\int -u^{-3} du = \frac{u^{-2}}{2} = \frac{1}{2\cos^2 x}$$

تكامل الطرف الأيمن:

$$\int dy = y$$

3. الحل العام

$$y = \frac{1}{2\cos^2 x} + C$$

الحل النهائي:

$$y = \frac{1}{2\cos^2 x} + C$$

حيث $C$ هو ثابت التكامل. 🎯