الاعداد المركبة/ تقليل قوى – محاضرة 2

🔹 العدد المركب هو عدد من الشكل:

$z = a + bi$

حيث:

عند إيجاد قوة عدد مركب، يمكن استخدام طريقتين رئيسيتين:

يتميز العدد التخـيلي $i$ بخواص دورية يمكن استخدامها لتبسيط القوى الكبيرة:

$i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1$

🔹 وبما أن $i^4 = 1$ فإن القوى تتكرر كل 4 دورات، أي أن:

$i^n = i^{(n \mod 4)}$

✅ أمثلة على تقليل القوى باستخدام خواص $i$ :

$i^{27}$
🔹 نقسم الأس على 4:
$27 \div 4 = 6 \text{ والباقي } 3$
بالتالي:
$i^{27} = i^3 = -i$
$i^{58}$
🔹 نقسم الأس على 4:
$58 \div 4 = 14 \text{ والباقي } 2$
بالتالي:
$i^{58} = i^2 = -1$

عند التعامل مع قوى عدد مركب $z = a + bi$ ، نستخدم الشكل القطبي:

$z = r (\cos\theta + i \sin\theta)$

حيث:

✅ نظرية دي موفر:

$z^n = r^n (\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$

🔹 مثال:
إيجاد $(1 + i)^8$

تحويل العدد إلى الشكل القطبي:
- $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
- $\theta = \tan^{-1}(1/1) = 45^\circ$ أو $\pi/4$
رفع إلى القوة 8 باستخدام دي موفر:
$(1 + i)^8 = (\sqrt{2})^8 (\cos(8 \times 45^\circ) + i \sin(8 \times 45^\circ))$
- $(\sqrt{2})^8 = 16$
- $8 \times 45^\circ = 360^\circ$
- $\cos(360^\circ) = 1, \quad \sin(360^\circ) = 0$
الحل النهائي:
$(1 + i)^8 = 16 (1 + 0i) = 16$

📝 التمرين 1:
أوجد ناتج القوى التالية:

✅ الحلول:

$i^{23}$ → $23 \mod 4 = 3$ → $i^3 = -i$
$i^{102}$ → $102 \mod 4 = 2$ → $i^2 = -1$
$(1 + i)^6$ → الشكل القطبي: $r = \sqrt{2}, \theta = 45^\circ$ , استخدم دي موفر $(\sqrt{2})^6 (\cos 270^\circ + i \sin 270^\circ) = 8(0 – i) = -8i$
$(-\sqrt{3} + i)^4$ → الشكل القطبي: $r = 2, \theta = 150^\circ$ $2^4 (\cos 600^\circ + i \sin 600^\circ) = 16 (\cos 240^\circ + i \sin 240^\circ)$ $\cos 240^\circ = -1/2, \sin 240^\circ = -\sqrt{3}/2$ $= 16 \left(-\frac{1}{2} – i\frac{\sqrt{3}}{2} \right) = -8 – 8\sqrt{3}i$

✔️ تبسيط $i^n$ :

✔️ رفع العدد المركب إلى قوة عالية:

✔️ التعامل مع القوى الزوجية والفردية:

$(1 + i)^n$ يمكن حسابه بالشكل القطبي.
الأعداد من الشكل $(-\sqrt{3} + i)^n$ يمكن تحويلها إلى الشكل القطبي واستخدام دي موفر.