الجذور التربيعية / محاضرة 19

يهدف هذا التقرير إلى حساب الجذر التربيعي للعدد المركب $-8i$ باستخدام التمثيل القطبي والقوانين الرياضية المتعلقة بالجذور التربيعية للأعداد المركبة.

1. تمثيل العدد المركب في الصورة القطبية

يعطى العدد المركب على الصورة الجبرية:

$$z = -8i$$

ولتحويله إلى الصورة القطبية، نحسب المقياس والزوايا كما يلي:

أ. حساب المقياس $r$:

$$r = |z| = \sqrt{0^2 + (-8)^2} = \sqrt{64} = 8$$

ب. حساب الزاوية $\theta$:

بما أن العدد يقع على المحور التخيلي السالب، فإن الزاوية تكون:

$$\theta = 270^\circ = \frac{3\pi}{2} \text{ (بالراديان)}$$

بالتالي، يمكن تمثيل العدد بالصورة القطبية كما يلي:

$$z = 8 e^{i\frac{3\pi}{2}}$$

2. حساب الجذر التربيعي

يتم إيجاد الجذر التربيعي باستخدام الصيغة:

$$\sqrt{z} = \sqrt{r} e^{i\frac{\theta}{2}}$$

أ. حساب الجذر التربيعي للمقياس $r$:

$$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$

ب. إيجاد الحلول الممكنة

الجذر التربيعي لعدد مركب يعطي حلين باستخدام الزوايا:

$$\theta_k = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k = 0,1$$

الحل الأول:

$$\theta_0 = \frac{3\pi}{4} = 135^\circ$$ $$z_1 = 2\sqrt{2} e^{i \frac{3\pi}{4}} = 2\sqrt{2} \left(\cos 135^\circ + i \sin 135^\circ\right)$$ $$z_1 = -2 + 2i$$

الحل الثاني:

$$\theta_1 = \frac{7\pi}{4} = 315^\circ$$ $$z_2 = 2\sqrt{2} e^{i \frac{7\pi}{4}} = 2\sqrt{2} \left(\cos 315^\circ + i \sin 315^\circ\right)$$ $$z_2 = 2 – 2i$$

3. النتائج النهائية

بناءً على الحسابات السابقة، فإن الجذور التربيعية للعدد المركب $-8i$ هي:

$$\sqrt{-8i} = \{-2 + 2i, 2 – 2i\}$$

تم في هذا التقرير إيجاد الجذر التربيعي للعدد المركب $-8i$ باستخدام الطريقة القطبية، حيث تم تحويل العدد إلى صورته القطبية، ثم تطبيق قاعدة الجذور التربيعية للأعداد المركبة للحصول على الحلين الممكنين.

إيجاد الجذور التربيعية للعدد المركب $i$

مقدمة: في علم الأعداد المركبة، يُعتبر إيجاد الجذور التربيعية للأعداد المركبة من المواضيع الأساسية. في هذا التقرير، سنبحث عن الجذور التربيعية للعدد المركب $i$، والذي يمثل الوحدة التخيلية في الأعداد المركبة.

الطريقة العامة لإيجاد الجذور التربيعية للعدد المركب: لإيجاد الجذر التربيعي لأي عدد مركب $z = r e^{i\theta}$ بصيغته القطبية، نستخدم القاعدة:

$$\sqrt{r} e^{i(\theta + 2k\pi)/2}, \quad k = 0, 1$$

حيث $r$ هو المقياس (المقدار) و$\theta$ هو الزاوية (السعة) التي يمثلها العدد المركب في المستوى القطبي.

تحليل العدد المركب $i$ في الصيغة القطبية: نكتب العدد $i$ في الصيغة القطبية:

• المقياس: $r = |i| = 1$
• الزاوية: $\theta = \frac{\pi}{2}$ لأن العدد $i$ يقع على المحور التخيلي الموجب.

بالتالي، يمكن كتابة $i$ على الشكل القطبي:

$$i = 1 e^{i \pi/2}$$

حساب الجذور التربيعية: نستخدم القاعدة العامة لحساب الجذور التربيعية:

$$\sqrt{1} e^{i(\pi/2 + 2k\pi)/2}, \quad k = 0, 1$$

لـ $k = 0$:

$$e^{i \pi/4} = \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}$$

لـ $k = 1$:

$$e^{i 5\pi/4} = \cos \frac{5\pi}{4} + i \sin \frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2}$$

النتيجة: الجذران التربيعيان للعدد المركب $i$ هما:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad -\frac{\sqrt{2}}{2} – i \frac{\sqrt{2}}{2}$$

خاتمة: تمكنا من إيجاد الجذور التربيعية للعدد المركب $i$ باستخدام الصيغة القطبية والاعتماد على قواعد الأعداد المركبة. يمكن تطبيق هذه الطريقة على أي عدد مركب آخر لإيجاد جذوره التربيعية بسهولة.