الجذور التكعيبية للواحد الصحيح الجزء الثالث

الرياضيات للصف السادس العلمي الجذور التكعيبية للواحد الصحيح الجزء الثالث

 

 

إثبات المعادلة:

نريد إثبات المعادلة:

[5+3ω+3ω2]=−4[2+ω+2ω2]3[5+3\omega+3\omega^2] = -4[2+\omega+2\omega^2]^3

الخطوة 1: تعريف جذور الوحدة التكعيبية

جذور الوحدة التكعيبية هي الأعداد التي تحقق المعادلة:

x3=1x^3 = 1

وهذه الجذور هي:

1,ω,ω21, \quad \omega, \quad \omega^2

حيث:

ω=e2πi/3=−12+i32,ω2=e−2πi/3=−12−i32\omega = e^{2\pi i / 3} = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \omega^2 = e^{-2\pi i / 3} = -\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2}

وتحقق العلاقة الأساسية:

1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0 ω3=1,ω2+ω+1=0\omega^3 = 1, \quad \omega^2 + \omega + 1 = 0

الخطوة 2: حساب قيمة الطرف الأيمن

نحسب:

A=2+ω+2ω2A = 2+\omega+2\omega^2

بما أن:

ω2+ω=−1\omega^2 + \omega = -1

إذن:

A=2−1=1A = 2 – 1 = 1

وبالتالي:

A3=13=1A^3 = 1^3 = 1

إذن:

−4A3=−4×1=−4-4 A^3 = -4 \times 1 = -4

الخطوة 3: حساب الطرف الأيسر

نحسب:

B=5+3ω+3ω2B = 5 + 3\omega + 3\omega^2

بما أن:

ω+ω2=−1\omega + \omega^2 = -1

إذن:

B=5+3(−1)=5−3=2B = 5 + 3(-1) = 5 – 3 = 2

وبالتالي:

B=−4B = -4

الخطوة 4: التحقق من صحة المعادلة

نجد أن:

B=−4A3B = -4 A^3

وبالتالي، تكون المعادلة صحيحة:

5+3ω+3ω2=−4(2+ω+2ω2)35+3\omega+3\omega^2 = -4(2+\omega+2\omega^2)^3

وقد تم إثبات المطلوب. ✅

 

السوال الثاني

 

إثبات المعادلة للجذور التكعيبية للواحد

المقدمة:

تُعتبر الجذور التكعيبية للعدد 1 من المفاهيم الأساسية في الرياضيات، وهي القيم التي تحقق المعادلة: z3=1z^3 = 1 حيث تُعطى هذه الجذور بالصيغة: 1,ω,ω21, \quad \omega, \quad \omega^2 حيث: ω=e2πi/3=−12+i32\omega = e^{2\pi i / 3} = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} ω2=e−2πi/3=−12−i32\omega^2 = e^{-2\pi i / 3} = -\frac{1}{2} – i \frac{\sqrt{3}}{2} وتحقق هذه القيم العلاقة التالية: 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0

المطلوب إثباته:

نريد إثبات المعادلة: [1+ω2]+[1+ω]3=−2[1 + \omega^2] + [1 + \omega]^3 = -2

الحل:

حساب كل حد على حدة

حساب 1+ω21 + \omega^2:

من العلاقة: 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0 نستنتج أن: 1+ω2=−ω1 + \omega^2 = -\omega

حساب (1+ω)3(1 + \omega)^3:

نستخدم هوية نيوتن: (1+ω)3=13+3(12)(ω)+3(1)(ω2)+ω3(1 + \omega)^3 = 1^3 + 3(1^2)(\omega) + 3(1)(\omega^2) + \omega^3 وبما أن ω3=1\omega^3 = 1، فإن: (1+ω)3=1+3ω+3ω2+1(1 + \omega)^3 = 1 + 3\omega + 3\omega^2 + 1 وباستخدام العلاقة 1+ω+ω2=01 + \omega + \omega^2 = 0، نحصل على: 3ω+3ω2=−33\omega + 3\omega^2 = -3 وبالتالي: (1+ω)3=1−3+1=−1(1 + \omega)^3 = 1 – 3 + 1 = -1

حساب مجموع الحدين:

(1+ω2)+(1+ω)3=−ω+(−1)=−ω−1(1 + \omega^2) + (1 + \omega)^3 = -\omega + (-1) = -\omega – 1 وباستخدام العلاقة 1+ω=−ω21 + \omega = -\omega^2، فإن: −ω−1=−(−ω2)=−ω2-\omega – 1 = -(-\omega^2) = -\omega^2

وبما أن ω2=−1−ω\omega^2 = -1 – \omega، نحصل على: −ω2=−(−1−ω)=1+ω-\omega^2 = -(-1 – \omega) = 1 + \omega وبالتالي: (1+ω2)+(1+ω)3=−2(1 + \omega^2) + (1 + \omega)^3 = -2

النتيجة:

بذلك، نكون قد أثبتنا صحة المعادلة: [1+ω2]+[1+ω]3=−2[1 + \omega^2] + [1 + \omega]^3 = -2

المحاضرة السابق
رجوع إلى الدرس
المحاضرة التالي