العمليات القسمة على مجموعة الاعداد المركبة / محاضرة 5

تُعدّ الأعداد المركبة من المواضيع الأساسية في الرياضيات، حيث تتكون من جزء حقيقي وجزء تخيلي. بعد دراسة العمليات الأساسية (الجمع، الطرح، والضرب) على الأعداد المركبة، ننتقل إلى العملية الأخيرة وهي القسمة، التي تتطلب تقنيات خاصة للتخلص من العدد التخيلي في المقام.

مراجعة العمليات السابقة على الأعداد المركبة

قبل الدخول في القسمة، تم استعراض العمليات السابقة، وهي:

1. الجمع والطرح

• يتم جمع وطرح الأعداد المركبة بتجميع الأجزاء الحقيقية معًا، ثم تجميع الأجزاء التخيلية معًا.
• مثال:
  $$(5 + 2i) + (3 + 4i) = (5+3) + (2+4)i = 8 + 6i$$ 

  $$(5 + 2i) – (3 + 4i) = (5-3) + (2-4)i = 2 – 2i$$ 

2. الضرب

• يتم استخدام خاصية التوزيع في الضرب، مع مراعاة أن
  $i^2 = -1$ 

  .

• مثال:
  $$(2 + 3i) \times (4 – i) = 2 \times 4 + 2 \times (-i) + 3i \times 4 + 3i \times (-i)$$ 

  $$= 8 – 2i + 12i -3i^2$$ 

  $$= 8 + 10i + 3 = 11 + 10i$$ 

القسمة على الأعداد المركبة

تُعد القسمة من العمليات الأكثر تعقيدًا، حيث يجب التخلص من العدد التخيلي في المقام عن طريق الضرب بالمرافق.

خطوات القسمة

1. التأكد من وجود عدد مركب في المقام.
2. إيجاد المرافق للمقام، وهو نفس العدد المركب ولكن بإشارة معاكسة للجزء التخيلي.
3. ضرب كل من البسط والمقام بالمرافق.
4. تطبيق القاعدة: حاصل ضرب العدد المركب في مرافقه يساوي مربع الجزء الحقيقي زائد مربع الجزء التخيلي.
5. تبسيط الناتج وفصل الجزء الحقيقي عن التخيلي.

مثال توضيحي

لإيجاد ناتج القسمة:

$$\frac{5 – i}{1 + i}$$

• نضرب البسط والمقام في مرافق المقام (1 – i):

$$\frac{(5 – i)(1 – i)}{(1 + i)(1 – i)}$$

• حساب المقام: 

  $$1^2 – (i)^2 = 1 – (-1) = 1 + 1 = 2$$ 

• حساب البسط باستخدام التوزيع: 

  $$5 \times 1 – 5 \times i – i \times 1 + i \times i$$ 

  $$= 5 – 5i – i + i^2$$ 

  $$= 5 – 6i + (-1) = 4 – 6i$$ 

• القسمة على 2: 

  $$\frac{4 – 6i}{2} = 2 – 3i$$ 

النتيجة النهائية

$$2 – 3i$$

ملاحظات هامة حول القسمة على الأعداد المركبة

1. يجب دائمًا التخلص من العدد التخيلي في المقام.
2. الضرب بالمرافق هو الطريقة القياسية للتخلص من
   $i$ 

   في المقام.

3. يتم استخدام القاعدة: مربع العدد الحقيقي + مربع العدد التخيلي في المقام.
4. التحقق من صحة الناتج بعد القسمة يكون بإجراء العملية العكسية (الضرب).

تمارين على القسمة في الأعداد المركبة

تمرين 1

احسب ناتج القسمة التالي:

$$\frac{3 + 2i}{1 – i} = 0.5 + 2.5i$$

تمرين 2

احسب ناتج القسمة التالي:

$$\frac{7 – 4i}{2 + 3i} = \frac{13 – 29i}{13} = 1 – 2.23i$$

تمرين 3

احسب ناتج القسمة التالي:

$$\frac{1 + i}{2 – i} = \frac{1 + 3i}{5} = 0.2 + 0.6i$$

تمرين 4

احسب ناتج القسمة التالي:

$$\frac{5 + 6i}{3 + 2i} = \frac{27 + 7i}{13} = 2.08 + 0.54i$$

خاتمة

تعتبر القسمة على الأعداد المركبة عملية هامة تُستخدم في العديد من التطبيقات في الرياضيات والفيزياء والهندسة الكهربائية. من خلال فهم هذه العملية بشكل جيد، يمكن التعامل مع مختلف المسائل المتعلقة بالأعداد المركبة بكفاءة وسهولة.