مراجعة المعادلات التفاضلية – المحاضرة الاولى

📌 تعريف المعادلة التفاضلية

المعادلة التفاضلية هي معادلة تحتوي على مشتقات دالة مجهولة، وتصف العلاقة بين المتغيرات المستقلة والمتغير التابع ومشتقاته.

📍 الشكل العام:

$$F(x, y, y’, y”, …, y^{(n)}) = 0$$

حيث:

• $x$ هو المتغير المستقل.
• $y$ هو المتغير التابع (الدالة المجهولة).
• $y’, y”, …, y^{(n)}$ هي المشتقات المختلفة لـ $y$.

🔹 أمثلة على المعادلات التفاضلية

1️⃣ معادلة تفاضلية من الرتبة الأولى

$$\frac{dy}{dx} = 3x^2$$

✅ تحتوي فقط على المشتقة الأولى $y’$.

2️⃣ معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية

$$\frac{d^2y}{dx^2} + 4 \frac{dy}{dx} + 3y = 0$$

✅ تحتوي على المشتقة الثانية $y”$.

3️⃣ معادلة تفاضلية جزئية (PDE)

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0$$

✅ تحتوي على مشتقات جزئية بالنسبة لأكثر من متغير مستقل.

أنواع المعادلات التفاضلية

تنقسم المعادلات التفاضلية إلى عدة أنواع بناءً على معايير مختلفة مثل الرتبة، الخطية، عدد المتغيرات، والقابلية للحل. إليك التصنيف الأساسي لها:

1. حسب الرتبة (Order)

تعتمد الرتبة على أعلى مشتقة تظهر في المعادلة:

• معادلات تفاضلية من الرتبة الأولى: تحتوي على المشتقة الأولى فقط، مثل:

  $$\frac{dy}{dx} + y = x$$

• معادلات تفاضلية من الرتبة الثانية: تحتوي على المشتقة الثانية، مثل:

  $$\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0$$

• معادلات من رتبة أعلى: قد تحتوي على مشتقات من رتب أعلى، مثل الرتبة الثالثة أو الرابعة.

2. حسب الخطية (Linearity)

يُحدد هذا التصنيف بناءً على هل المعادلة تحافظ على خاصية الجمع والتجانس:

• معادلات تفاضلية خطية (Linear Differential Equations): تكون فيها المعادلة خطية في المجهول والمشتقات، أي أن الشكل العام يكون:

  $$a_n(x) \frac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + … + a_1(x) \frac{dy}{dx} + a_0(x)y = f(x)$$مثل:

  $$\frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + 3y = \sin x$$

• معادلات تفاضلية غير خطية (Nonlinear Differential Equations): إذا كان فيها حاصل ضرب المشتقات أو حدود غير خطية مثل:

  $$\frac{d^2y}{dx^2} + y \frac{dy}{dx} = e^y$$

3. حسب عدد المتغيرات المستقلة

• معادلات تفاضلية عادية (Ordinary Differential Equations – ODEs): تحتوي على متغير مستقل واحد فقط، مثل:

  $$\frac{dy}{dx} + 2y = x^2$$

• معادلات تفاضلية جزئية (Partial Differential Equations – PDEs): تحتوي على أكثر من متغير مستقل، مثل:

  $$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = 0$$

4. حسب التجانس (Homogeneity)

• معادلات تفاضلية متجانسة (Homogeneous Differential Equations): يكون فيها الطرف الأيمن صفرًا:

  $$\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = 0$$

• معادلات تفاضلية غير متجانسة (Nonhomogeneous Differential Equations): تحتوي على دالة غير صفرية في الطرف الأيمن:

  $$\frac{d^2y}{dx^2} + 3\frac{dy}{dx} + 2y = e^x$$

5. حسب إمكانية الفصل (Separability)

• معادلات قابلة للفصل (Separable Equations): يمكن إعادة كتابتها بحيث تكون كل متغير في طرف منفصل:

  $$\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$$يمكن فصلها إلى:

  $$y dy = x dx$$

• معادلات غير قابلة للفصل: لا يمكن إعادة كتابتها بهذه الطريقة بسهولة.

6. حسب الشكل أو الطريقة المستخدمة للحل

• معادلات متغيرة المعاملات (Variable Coefficients): يكون فيها المعاملات دوال في المتغير المستقل، مثل:

  $$x \frac{d^2y}{dx^2} + 2\frac{dy}{dx} + y = 0$$

• معادلات تفاضلية تامة (Exact Equations): تكون على شكل:

  $$M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0$$وتحقق شرط التكامل:

  $$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$$

• معادلات بيرنولي (Bernoulli Equations): تكون على شكل:

  $$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n$$

• معادلات ريكاتي (Riccati Equations): تكون على شكل:

  $$\frac{dy}{dx} = a(x) + b(x)y + c(x)y^2$$

📌 ملخص سريع

📌 السؤال: رقم 2

تحقق مما إذا كانت الدالة $y = x \ln x – x$ هي حل للمعادلة التفاضلية:

$$x \frac{dy}{dx} = x + y$$

📌 الحل:

1. حساب المشتقة $\frac{dy}{dx}$

لدينا:

$$y = x \ln x – x$$

نشتق الطرفين بالنسبة إلى $x$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x \ln x – x)$$

باستخدام قاعدة مشتقة جداء الدوال $(uv)’ = u’ v + u v’$:

• $\frac{d}{dx} (x \ln x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$
• $\frac{d}{dx} (-x) = -1$

إذن:

$$\frac{dy}{dx} = \ln x + 1 – 1$$ $$\frac{dy}{dx} = \ln x$$

2. التحقق من صحة الحل

نعوض $\frac{dy}{dx}$ في المعادلة التفاضلية الأصلية:

$$x (\ln x) = x + y$$

وبما أن $y = x \ln x – x$، نعوض بها:

$$x \ln x = x + (x \ln x – x)$$

نجد أن:

$$x \ln x = x \ln x$$

وهو تطابق صحيح، مما يعني أن الدالة تحقق المعادلة.

✅ النتيجة:

إذن، $y = x \ln x – x$ هو حل صحيح للمعادلة التفاضلية:

$$x \frac{dy}{dx} = x + y$$

📌 السؤال: رقم4

تحقق مما إذا كانت الدالة $y = \sin x$ هي حل للمعادلة التفاضلية:

$$\frac{dy}{dx} + y = 0$$

📌 الحل:

1. حساب المشتقة $\frac{dy}{dx}$

لدينا:

$$y = \sin x$$

نشتق الطرفين بالنسبة إلى $x$:

$$\frac{dy}{dx} = \cos x$$

2. التحقق من صحة الحل

نعوض $y = \sin x$ و $\frac{dy}{dx} = \cos x$ في المعادلة التفاضلية:

$$\cos x + \sin x = 0$$

هذا غير صحيح عمومًا، لأن الدالتين $\cos x$ و $\sin x$ غير متطابقتين دائمًا بمعادلة من هذا الشكل.

✅ النتيجة:

الدالة $y = \sin x$ ليست حلاً للمعادلة التفاضلية:

$$\frac{dy}{dx}+y=0$$

📌 السؤال: رقم 5

تحقق مما إذا كانت الدالة التالية:

$$y = x^3 – x – 2$$

هي حل للمعادلة التفاضلية:

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = 6x$$

📌 الحل:

1. حساب المشتقات

أولاً نحسب المشتقة الأولى:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^3 – x – 2)$$ $$\frac{dy}{dx} = 3x^2 – 1$$

ثم نحسب المشتقة الثانية:

$$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} (3x^2 – 1)$$ $$\frac{d^2y}{dx^2} = 6x$$

2. التحقق من صحة الحل

المعادلة التفاضلية المعطاة هي:

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = 6x$$

وبما أن المشتقة الثانية التي حصلنا عليها هي:

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = 6x$$

نجد أن الطرفين متساويان، إذن المعادلة محققة.

✅ النتيجة:

الدالة $y = x^3 – x – 2$ هي حل صحيح للمعادلة التفاضلية:

$$\frac{d^2 y}{dx^2} = 6x$$

$$\frac{dy}{dx} + y = 0$$