المحاضرة 26/ ايجاد معادلة القطع الزائد

السؤال :

“جد معادلة القطع الناقص الذي بؤرته تنطبق على بؤرتي القطع الزائد $x^2 – 3y^2 = 12$ والنسبة بين طولي محوريه تساوي $\frac{5}{3}$.”

لحل السؤال، نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: إيجاد بؤرتي القطع الزائد

المعادلة المعطاة للقطع الزائد هي:

$$\frac{x^2}{12} – \frac{y^2}{4} = 1$$

وهي على الصورة القياسية للقطع الزائد ذي المحور الأفقي:

$$\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1$$

بالمقارنة نجد أن:

• $a^2 = 12$ ⇒ $a = 2\sqrt{3}$
• $b^2 = 4$ ⇒ $b = 2$

البؤرتان تقعان عند $(\pm c, 0)$ حيث:

$$c^2 = a^2 + b^2 = 12 + 4 = 16$$ $$c = 4$$

إذن، إحداثيات البؤرتين للقطع الزائد هي $(\pm 4, 0)$.

الخطوة 2: معادلة القطع الناقص

بما أن القطع الناقص له نفس البؤرتين ($\pm 4, 0$)، فهو أفقي، وصيغته القياسية:

$$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} = 1$$

حيث $C = 4$، ولدينا العلاقة:

$$C^2 = A^2 – B^2$$

أي:

$$16 = A^2 – B^2$$

الخطوة 3: استخدام نسبة المحورين

النسبة المعطاة بين طولي المحورين:

$$\frac{2B}{2A} = \frac{5}{3}$$ $$\frac{B}{A} = \frac{5}{3}$$

بالتربيع:

$$\frac{B^2}{A^2} = \frac{25}{9}$$

إذن:

$$B^2 = \frac{25}{9} A^2$$

الخطوة 4: حل المعادلتين

من العلاقة:

$$A^2 – B^2 = 16$$

وبالتعويض عن $B^2$:

$$A^2 – \frac{25}{9} A^2 = 16$$ $$\frac{9A^2 – 25A^2}{9} = 16$$ $$\frac{-16A^2}{9} = 16$$ $$-16A^2 = 144$$ $$A^2 = 36$$ $$B^2 = \frac{25}{9} \times 36 = 100$$

الخطوة 5: كتابة معادلة القطع الناقص

بالتعويض في الصيغة القياسية:

$$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{100} = 1$$

هذه هي معادلة القطع الناقص المطلوب. ✅

السؤال:

جد معادلة القطع الزائد الذي بؤراه هما رأسا القطع الناقص
$x^2 + 9y^2 = 36$
والنسبة بين طول محوره الحقيقي إلى البعد بين البؤرتين كنصف (1/2).

لحل هذا السؤال، نحتاج إلى إيجاد معادلة القطع الزائد الذي بؤرتاه هما رأسا القطع الناقص المعطى.

1- معادلة القطع الناقص المعطى:

المعادلة المعطاة هي:

$$x^2 + 9y^2 = 36$$

نقسم على 36 لجعلها في الصورة القياسية:

$$\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{4} = 1$$

2- تحديد عناصر القطع الناقص:

• $a^2 = 36$ ⟹ $a = 6$ (نصف المحور الأكبر)
• $b^2 = 4$ ⟹ $b = 2$ (نصف المحور الأصغر)
• البؤرتان للقطع الناقص تُحسب من العلاقة:

  $$c^2 = a^2 – b^2$$ $$c^2 = 36 – 4 = 32 \Rightarrow c = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$وبما أن المحور الأكبر أفقي، فإن بؤرتي القطع الناقص هما:

  $$(\pm 4\sqrt{2}, 0)$$أي أن بؤرتي القطع الناقص تصبحان رأسي القطع الزائد المطلوب.

3- معادلة القطع الزائد:

بما أن المحور الحقيقي للقطع الزائد عمودي (لأن بؤرتي القطع الناقص أصبحتا رأسين للقطع الزائد)، فإن معادلة القطع الزائد تكون بالشكل:

$$\frac{y^2}{a^2} – \frac{x^2}{b^2} = 1$$

حيث:

• رأسا القطع الزائد هما $(0, \pm 4\sqrt{2})$ ⟹ إذن $a = 4\sqrt{2}$ وبالتالي $a^2 = 32$.

4- إيجاد $c^2$ من النسبة المعطاة:

النسبة المعطاة بين طول المحور الحقيقي $2a$ والبعد بين البؤرتين $2c$ هي:

$$\frac{2a}{2c} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{a}{c} = \frac{1}{2}$$ $$c = 2a = 2(4\sqrt{2}) = 8\sqrt{2}$$

نحسب $c^2$:

$$c^2 = (8\sqrt{2})^2 = 128$$

5- حساب $b^2$ وإيجاد المعادلة:

من علاقة القطع الزائد:

$$c^2 = a^2 + b^2$$ $$128 = 32 + b^2$$ $$b^2 = 96$$

إذن معادلة القطع الزائد هي:

$$\frac{y^2}{32} – \frac{x^2}{96} = 1$$