المحاضرة 27/ ايجاد معادلة القطع الزائد

السؤال:

جد معادلة القطع الزائد الذي بؤرته هما بؤرتا القطع الناقص

$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$$

ويمس دليل القطع المكافئ

$$x^2 + 12y = 0$$

لحل هذا السؤال، نتبع الخطوات التالية:

1. إيجاد بؤرتي القطع الناقص

معادلة القطع الناقص المعطاة هي:

$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} = 1$$

هذه المعادلة على الصورة القياسية للقطع الناقص الأفقي:

$$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$

حيث:

• $a^2 = 25 \Rightarrow a = 5$
• $b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$
• العلاقة بين $a$ و $b$ و $c$ في القطع الناقص: $$c^2 = a^2 – b^2$$ $$c^2 = 25 – 9 = 16 \Rightarrow c = \pm 4$$

إذن، بؤرتا القطع الناقص هما:

$$F_1(0, -4), \quad F_2(0, 4)$$

2. معادلة القطع الزائد الذي بؤرته هما بؤرتا القطع الناقص

القطع الزائد الذي له نفس البؤرتين يكون عموديًا، أي معادلته تأخذ الشكل:

$$\frac{x^2}{b^2} – \frac{y^2}{a^2} = 1$$

حيث تكون بؤرتاه عند:

$$(0, \pm c)$$

نعلم أن بؤرتي القطع الزائد يجب أن تكون نفسها بؤرتي القطع الناقص، أي $c = 4$.

في القطع الزائد، العلاقة بين $a, b, c$ هي:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

بالتعويض:

$$16 = a^2 + b^2$$

3. إيجاد قيمة $a^2$ من شرط التماس مع دليل القطع المكافئ

دليل القطع المكافئ هو المستقيم المشتق من معادلته:

$$x^2 + 12y = 0$$

نكتبها على صورة القطع المكافئ:

$$x^2 = -12y$$

بما أن القطع الزائد يمس هذا المستقيم، فإن المسافة بين مركز القطع الزائد ومعادلة الدليل يجب أن تكون مساوية لنصف المسافة بين البؤرتين، أي قيمة $a$.

مسافة المركز $(0,0)$ عن الخط $x^2 = -12y$ تُحسب عبر تحويله إلى الصورة الخطية:

$$y = -\frac{1}{12}x^2$$

وبالتالي، المسافة بين المركز والخط (بالتعويض $x = 0$) هي:

$$d = \frac{| -0 |}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = 0$$

هذه المسافة يجب أن تساوي $a$.

إذن، نستنتج أن $a = 3$, وبالتالي:

$$a^2 = 9$$

4. إيجاد معادلة القطع الزائد

بما أن:

$$c^2 = a^2 + b^2$$ $$16 = 9 + b^2$$ $$b^2 = 7$$

إذن، معادلة القطع الزائد هي:

$$\frac{x^2}{7} – \frac{y^2}{9} = 1$$