المحاضرة7 / اثرائيات القطع المكافئ

معادلة القطع المكافئ الذي رأسه عند نقطة الأصل $(0,0)$ ودليله يوازي محور الصادات تأخذ الشكل:

$x^2 = 4 p y$

حيث $p$ هو البعد البؤري، أي المسافة بين الرأس و البؤرة، وأيضًا المسافة بين الرأس والدليل ولكن بعكس الإشارة.

بما أن الدليل يمر بالنقطة $(2, -1)$ ، فإن معادلة الدليل تكون:

$y = -p$

أي أن $-p = -1$ وبالتالي:

$p = 1$

بتعويض $p = 1$ في المعادلة العامة:

$x^2 = 4(1) y$ $x^2 = 4y$

إذن، معادلة القطع المكافئ المطلوب هي:

$x^2 = 4y$

رأس القطع المكافئ عند نقطة الأصل $(0,0)$ .
البؤرة على محور السينات، أي أن القطع المكافئ يفتح جهة اليمين أو اليسار، مما يعني أن معادلته ستكون بالشكل:
$y^2 = 4p x$ أو
$y^2 = -4p x$ حسب اتجاه الفتحة.
المسافة بين البؤرة والدليل تساوي 8 وحدات.

البؤرة تقع عند $(p, 0)$ .
الدليل يكون عمودياً على محور السينات، أي أن معادلته تكون:
$x = -p$
بما أن المسافة بين البؤرة والدليل تُعطى بالعلاقة $2p$ ، فإنه:
$2p = 8$ أي أن:
$p = 4$

بما أن البؤرة تقع على محور السينات عند $(4,0)$ ، فهذا يعني أن القطع المكافئ يفتح جهة اليمين، وبالتالي تكون المعادلة:

$y^2 = 4(4)x$ $y^2 = 16x$

$y^2 = 16x$