المحاضرة8/ القطع الناقص/ القوانين

القطع الناقص , وقوانينه

مقدمة

القطع الناقص (Ellipse) هو أحد الأقسام المخروطية التي تتشكل عندما يقطع مستوى مخروطًا بزاوية مائلة بحيث لا يكون عموديًا على محور المخروط ولا يمر بقاعدته. وهو يشبه الدائرة، لكنه ممدود في أحد الاتجاهين. يتميز القطع الناقص بوجود بؤرتين يقعان على طول محوره الأكبر.

تعريف القطع الناقص

القطع الناقص هو مجموعة النقاط في المستوى التي يكون مجموع بعديها عن نقطتين ثابتتين (تسمى البؤرتين) مقدارًا ثابتًا.

عناصر القطع الناقص

1. المحور الأكبر $2a$: أطول قطر في القطع الناقص ويمتد بين نقطتين على الحد الخارجي ويمر عبر المركز.
2. المحور الأصغر $2b$: أقصر قطر في القطع الناقص ويمتد عموديًا على المحور الأكبر.
3. البؤرتان $( \pm c, 0 )$: نقطتان ثابتتان داخل القطع الناقص بحيث يكون مجموع المسافات من أي نقطة على القطع إلى هاتين البؤرتين ثابتًا.
4. المركز: نقطة تقاطع المحورين الأكبر والأصغر.
5. البعد البؤري $c$: المسافة بين المركز وكل بؤرة، وتعطى بالعلاقة: $$c^2 = a^2 – b^2$$
6. الإختلاف المركزي $e$: وهو مقياس لانحراف القطع الناقص عن الشكل الدائري، ويُحسب بالعلاقة: $$e = \frac{c}{a}$$ حيث $0 \leq e < 1$، وكلما اقترب $e$ من الصفر كان الشكل أقرب إلى الدائرة.

معادلة القطع الناقص القياسية

1. عندما يكون المركز عند (0,0) والمحور الأكبر أفقيًا:

   $$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$حيث:

   • $a$ هو نصف طول المحور الأكبر.
   • $b$ هو نصف طول المحور الأصغر.
   • $c^2 = a^2 – b^2$.
2. عندما يكون المحور الأكبر عموديًا:

   $$\frac{x^2}{b^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$$في هذه الحالة:

   • البؤرتان عند $(0, \pm c)$.
   • $c^2 = a^2 – b^2$.

خصائص القطع الناقص

• مجموع المسافتين من أي نقطة على القطع إلى البؤرتين يساوي دائمًا $2a$.
• إذا كانت $a = b$، فإن القطع الناقص يصبح دائرة.
• الإختلاف المركزي $e$ يحدد مدى استطالة القطع الناقص.

القطوع الناقصة في الحياة العملية

• المدارات الكوكبية تتبع مسارات بيضاوية حول الشمس وفقًا لقوانين كبلر.
• العدسات والمرايا في الأجهزة البصرية تعتمد على خصائص القطع الناقص لتركيز الضوء.
• في الهندسة المعمارية، تُستخدم الأشكال البيضاوية في تصميم المباني والممرات المقوسة.

هذا الرسم البياني يوضح القطع الناقص ومعالمه الأساسية:

• القطع الناقص مرسوم باللون الأزرق.
• البؤرتان موضحتان بالنقاط الحمراء.
• المركز موجود عند نقطة الأصل وممثل بالنقطة الزرقاء.
• المحور الأكبر والأصغر موضحان بخطوط متقطعة.

يمكنك ملاحظة أن أي نقطة على القطع الناقص تحافظ على المجموع الثابت للمسافات إلى البؤرتين، وهو ما يميز هذا الشكل الهندسي.