حل المعادلة التربيعية في c

المعادلة التربيعية هي معادلة من الشكل:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

حيث $a, b, c$ أعداد حقيقية أو مركبة، و $a \neq 0$. يمكن حل هذه المعادلة باستخدام القانون العام:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}$$

عندما يكون المميز $\Delta = b^2 – 4ac$ سالبًا، فإن الحلول تكون في مجموعة الأعداد المركبة.

مثال 1: معادلة ذات جذور مركبة

لحل المعادلة التالية:

$$x^2 + 4x + 5 = 0$$

الخطوات:

1. حساب المميز:
   • نحسب المميز باستخدام العلاقة $\Delta = b^2 – 4ac$.
   • نعوض القيم: $b = 4$, $a = 1$, $c = 5$.
   • نحصل على $\Delta = 4^2 – 4(1)(5) = 16 – 20 = -4$.
2. حساب الجذور:
   • نجد الجذر التربيعي للمميز: $\sqrt{-4} = 2i$.
   • نطبق القانون العام:

   $$x = \frac{-4 \pm 2i}{2(1)}$$

   • نبسط المعادلة:

   $$x = -2 \pm i$$

الحل النهائي:

$$x_1 = -2 + i, \quad x_2 = -2 – i$$

مثال 2: معادلة معقدة بأعداد مركبة

نحل المعادلة:

$$2x^2 + (3 – i)x + (1 + 2i) = 0$$

الخطوات:

1. حساب المميز:
   • نحسب $\Delta = (3 – i)^2 – 4(2)(1 + 2i)$.
   • نحسب مربع $3 – i$:

   $$(3 – i)^2 = 9 – 6i + i^2 = 9 – 6i – 1 = 8 – 6i$$

   • نحسب $4(2)(1 + 2i)$:

   $$4(1 + 2i) = 4 + 8i$$

   • نحصل على:

   $$\Delta = (8 – 6i) – (8 + 8i) = 8 – 6i – 8 – 8i = -14i$$

2. حساب الجذور:
   • نحسب الجذر التربيعي لـ $-14i$:

   $$\sqrt{-14i} = \sqrt{14} \cdot \sqrt{-i}$$

   • باستخدام $\sqrt{-i} = \frac{1 – i}{\sqrt{2}}$:

   $$\sqrt{-14i} = \frac{\sqrt{14}(1 – i)}{\sqrt{2}} = \sqrt{7} (1 – i)$$

   • نطبق القانون العام:

   $$x = \frac{- (3 – i) \pm \sqrt{7} (1 – i)}{2(2)}$$

   • نبسط المعادلة:

   $$x = \frac{-3 + i \pm \sqrt{7} (1 – i)}{4}$$

   • نكتب الجذور مفصلة:

   $$x_1 = \frac{-3 + i + \sqrt{7} (1 – i)}{4}, \quad x_2 = \frac{-3 + i – \sqrt{7} (1 – i)}{4}$$

الحل النهائي:

$$x_1 = \frac{-3 + i + \sqrt{7} (1 – i)}{4}, \quad x_2 = \frac{-3 + i – \sqrt{7} (1 – i)}{4}$$

خاتمة

في مجموعة الأعداد المركبة، يمكن إيجاد حلول لجميع المعادلات التربيعية، حتى في حالة المميز السالب، وذلك باستخدام الوحدة التخيلية $i$. تُستخدم هذه الحلول في مجالات عديدة مثل الهندسة الكهربائية والفيزياء والرياضيات التطبيقية.