خواص التكامل المحدد / محاضرة 21

خواص التكامل المحدد

التكامل المحدد هو تكامل دالة على فترة محددة $[a, b]$ ويعبر عنه بالصيغة:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx$$

له عدة خواص مهمة تسهل التعامل معه في الحسابات والتطبيقات:

1. خاصية التبادل (تغيير حدود التكامل)

إذا عكسنا حدود التكامل، فإن التكامل يغير إشارته:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$$

2. خاصية التفكيك (التكامل على فترات متصلة)

إذا كان $c$ نقطة بين $a$ و $b$، فإن التكامل يمكن تقسيمه:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{c} f(x) \, dx + \int_{c}^{b} f(x) \, dx$$

3. خاصية خطية التكامل

التكامل المحدد يتوزع على الجمع والطرح، ويمكن إخراج الثابت خارج التكامل:

$$\int_{a}^{b} [c_1 f(x) + c_2 g(x)] \, dx = c_1 \int_{a}^{b} f(x) \, dx + c_2 \int_{a}^{b} g(x) \, dx$$

حيث $c_1, c_2$ عددان ثابتان.

4. خاصية التكامل لدالة متماثلة

• إذا كانت $f(x)$ دالة زوجية، أي $f(-x) = f(x)$، فإن:

  $$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$$

• إذا كانت $f(x)$ دالة فردية، أي $f(-x) = -f(x)$، فإن:

  $$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$$

5. التكامل لدالة ثابتة

إذا كانت $f(x) = c$ ثابتًا، فإن تكاملها:

$$\int_{a}^{b} c \, dx = c (b – a)$$

6. إذا كان $f(x)$ غير سالبة في الفترة $[a, b]$، فإن التكامل يكون غير سالب:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \geq 0$$

7. التقدير بين القيم العظمى والصغرى

إذا كانت $m$ و $M$ القيم الدنيا والعليا لـ $f(x)$ على $[a, b]$، فإن:

$$m (b – a) \leq \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq M (b – a)$$

8. علاقة التكامل بالمشتقات (نظرية القيم المتوسطة للتكامل)

إذا كانت $f(x)$ متصلة على $[a, b]$، فإنه يوجد عدد $c \in [a, b]$ بحيث:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = f(c) (b – a)$$

9. نظرية القيم المتوسطة للتكامل

إذا كانت $f(x)$ متصلة على $[a, b]$، فإن هناك عددًا $c$ في $[a, b]$ بحيث:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = f(c) (b – a)$$

10. مبرهنة القيمة الأساسية للتفاضل والتكامل

إذا كانت $F(x)$ دالة أصلية لـ $f(x)$، أي أن:

$$F'(x) = f(x)$$

فإن التكامل المحدد يُحسب باستخدام:

$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) – F(a)$$

11. إذا كانت $f(x)$ دالة موجبة على $[a, b]$، فإن تكاملها يمثل مساحة تحت المنحنى بين $x = a$ و $x = b$.

هذه هي أهم خواص التكامل المحدد، وتساعد كثيرًا في تسهيل حساب التكاملات وحل المسائل بسرعة وكفاءة.

السؤال:

جد قيمة التكامل:

$$\int_{4}^{0} x (x – 1)(x – 2) \, dx$$

هذا السؤال يطلب حساب التكامل المحدد للدالة المعطاة بين الحدود $x = 4$ و $x = 0$.

لحساب التكامل:

$$I = \int_{4}^{0} x (x – 1)(x – 2) \, dx$$

نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: فك ناتج الضرب

لدينا الدالة:

$$x (x – 1)(x – 2)$$

نبدأ بفك القوسين:

$$(x – 1)(x – 2) = x^2 – 2x – x + 2 = x^2 – 3x + 2$$

إذن التكامل يصبح:

$$I = \int_{4}^{0} x (x^2 – 3x + 2) \, dx$$

نوزع $x$:

$$I = \int_{4}^{0} (x^3 – 3x^2 + 2x) \, dx$$

الخطوة 2: حساب التكامل غير المحدد

نحسب كل حد على حدة:

• تكامل $x^3$:

$$\int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4}$$

• تكامل $-3x^2$:

$$\int -3x^2 \, dx = -3 \cdot \frac{x^3}{3} = -x^3$$

• تكامل $2x$:

$$\int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$$

إذن التكامل غير المحدد هو:

$$\frac{x^4}{4} – x^3 + x^2$$

الخطوة 3: حساب التكامل المحدد

نطبق حدود التكامل من $4$ إلى $0$:

$$I = \left[ \frac{x^4}{4} – x^3 + x^2 \right]_{4}^{0}$$

نحسب عند $x = 0$:

$$\frac{0^4}{4} – 0^3 + 0^2 = 0$$

نحسب عند $x = 4$:

$$\frac{4^4}{4} – 4^3 + 4^2$$ $$\frac{256}{4} – 64 + 16$$ $$64 – 64 + 16 = 16$$

إذن:

$$I = 0 – 16 = -16$$

النتيجة النهائية:

$$I = -16$$

السؤال:

جد قيمة التكامل:

$$\int_{3}^{2} \frac{x^3 – 1}{x – 1} \, dx$$

هذا السؤال يطلب حساب التكامل المحدد للدالة المعطاة بين الحدود $x = 3$ و $x = 2$.

لحساب التكامل:

$$I = \int_{3}^{2} \frac{x^3 – 1}{x – 1} \, dx$$

نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: تبسيط الكسر

نبدأ بقسمة البسط $x^3 – 1$ على المقام $x – 1$ باستخدام القسمة المطولة.

قسمة $x^3 – 1$ على $x – 1$:

1. نقسم أول حد في البسط $x^3$ على أول حد في المقام $x$:

   $$\frac{x^3}{x} = x^2$$

2. نضرب $x^2$ في $x – 1$:

   $$x^2 (x – 1) = x^3 – x^2$$

3. نطرح:

   $$(x^3 – 1) – (x^3 – x^2) = x^2 – 1$$

4. نقسم $x^2$ على $x$:

   $$\frac{x^2}{x} = x$$

5. نضرب $x$ في $x – 1$:

   $$x (x – 1) = x^2 – x$$

6. نطرح:

   $$(x^2 – 1) – (x^2 – x) = x – 1$$

7. نقسم $x – 1$ على $x – 1$:

   $$\frac{x – 1}{x – 1} = 1$$

8. نضرب $1$ في $x – 1$:

   $$x – 1$$

9. نطرح:

   $$(x – 1) – (x – 1) = 0$$

إذن:

$$\frac{x^3 – 1}{x – 1} = x^2 + x + 1$$

الخطوة 2: حساب التكامل

نحسب:

$$I = \int_{3}^{2} (x^2 + x + 1) \, dx$$

نفصل التكامل:

$$I = \int_{3}^{2} x^2 \, dx + \int_{3}^{2} x \, dx + \int_{3}^{2} 1 \, dx$$

حساب كل تكامل على حدة:

1. تكامل $x^2$:

   $$\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$$بتطبيق الحدود:

   $$\left[ \frac{x^3}{3} \right]_{3}^{2} = \frac{2^3}{3} – \frac{3^3}{3} = \frac{8}{3} – \frac{27}{3} = \frac{8 – 27}{3} = -\frac{19}{3}$$

2. تكامل $x$:

   $$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$$بتطبيق الحدود:

   $$\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{3}^{2} = \frac{2^2}{2} – \frac{3^2}{2} = \frac{4}{2} – \frac{9}{2} = \frac{4 – 9}{2} = -\frac{5}{2}$$

3. تكامل $1$:

   $$\int 1 \, dx = x$$بتطبيق الحدود:

   $$\left[ x \right]_{3}^{2} = 2 – 3 = -1$$

الخطوة 3: حساب الناتج النهائي

$$I = -\frac{19}{3} – \frac{5}{2} – 1$$

نوحد المقامات:

$$I = -\frac{38}{6} – \frac{15}{6} – \frac{6}{6}$$ $$I = -\frac{38 + 15 + 6}{6} = -\frac{59}{6}$$

النتيجة النهائية:

$$I = -\frac{59}{6}$$

السؤال :

إذا كان:

$$\int_{1}^{3} \left[ f(x) + 2x – 4 \right] dx = 20$$

فجد قيمة:

$$\int_{1}^{3} f(x) \, dx$$

لحل السؤال:

$$\int_{1}^{3} \left[ f(x) + 2x – 4 \right] dx = 20$$

نستخدم خاصية الخطية في التكامل، حيث يمكن توزيع التكامل على الحدود:

$$\int_{1}^{3} f(x) \, dx + \int_{1}^{3} 2x \, dx – \int_{1}^{3} 4 \, dx = 20$$

الخطوة 1: حساب التكاملات الأخرى

1. حساب $\int_{1}^{3} 2x \, dx$

نحسب التكامل:

$$\int 2x \, dx = x^2$$

نطبق حدود التكامل من 1 إلى 3:

$$\left[ x^2 \right]_{1}^{3} = 3^2 – 1^2 = 9 – 1 = 8$$

2. حساب $\int_{1}^{3} 4 \, dx$

بما أن التكامل لدالة ثابتة $c$ هو:

$$\int c \, dx = c \cdot x$$

إذن:

$$\int_{1}^{3} 4 \, dx = 4(x) \Big|_1^3 = 4(3) – 4(1) = 12 – 4 = 8$$

الخطوة 2: إيجاد قيمة $\int_{1}^{3} f(x) \, dx$

نعود إلى المعادلة الأصلية:

$$\int_{1}^{3} f(x) \, dx + 8 – 8 = 20$$ $$\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 20$$

النتيجة النهائية:

$$\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 20$$

السؤال :

إذا كان:

$$\int_{3}^{1} f(x) \, dx = -6$$

فجد:

$$\int_{1}^{3} \left[ 2f(x) + 2x + 1 \right] dx$$

لحل التكامل:

$$\int_{1}^{3} \left[ 2f(x) + 2x + 1 \right] dx$$

نستخدم خاصية الخطية للتكامل، حيث يمكن توزيع التكامل على الحدود:

$$\int_{1}^{3} 2f(x) \, dx + \int_{1}^{3} 2x \, dx + \int_{1}^{3} 1 \, dx$$

الخطوة 1: حساب التكامل الأول $\int_{1}^{3} 2f(x) \, dx$

بما أن:

$$\int_{3}^{1} f(x) \, dx = -6$$

فمن خاصية تغيير حدود التكامل:

$$\int_{1}^{3} f(x) \, dx = 6$$

وبضرب الطرفين في 2:

$$\int_{1}^{3} 2f(x) \, dx = 2 \times 6 = 12$$

الخطوة 2: حساب التكامل الثاني $\int_{1}^{3} 2x \, dx$

نحسب التكامل:

$$\int 2x \, dx = x^2$$

نطبق حدود التكامل من 1 إلى 3:

$$\left[ x^2 \right]_{1}^{3} = 3^2 – 1^2 = 9 – 1 = 8$$

الخطوة 3: حساب التكامل الثالث $\int_{1}^{3} 1 \, dx$

بما أن التكامل لدالة ثابتة $c$ هو:

$$\int c \, dx = c \cdot x$$

إذن:

$$\int_{1}^{3} 1 \, dx = (3 – 1) = 2$$

الخطوة 4: حساب الناتج النهائي

$$\int_{1}^{3} \left[ 2f(x) + 2x + 1 \right] dx = 12 + 8 + 2$$ $$= 22$$

النتيجة النهائية:

$$\int_{1}^{3} \left[ 2f(x) + 2x + 1 \right] dx = 22$$