مبرهنة 7

فيما يلي برهان العبارة هندسيًا بشكل واضح ومنظم:

✏️ نص النظرية:

«إذا تعامد مستويان، فإن المستقيم المرسوم في أحدهما، والعمودي على مستقيم التقاطع، يكون عموديًا على المستوى الآخر».

📐 البرهان:

المعطيات:

• المستويان المتعامدان هما:
  $\alpha \perp \beta$
• مستقيم التقاطع بين المستويين هو المستقيم:
  $d = \alpha \cap \beta$
• المستقيم $m$ مرسوم في المستوى $\alpha$، وعمودي على مستقيم التقاطع $d$:
  $m \subset \alpha, \quad m \perp d$

المطلوب إثباته:

نريد إثبات أن المستقيم $m$ يكون عموديًا على المستوى الآخر ($\beta$):
$m \perp \beta$

📌 البرهان (خطوة بخطوة):

الخطوة (1):

نفرض أن المستقيم $d$ هو تقاطع المستوى $\alpha$ مع المستوى $\beta$.
$d = \alpha \cap \beta$

وبما أن المستويين متعامدان، إذًا كل مستقيم مرسوم في المستوى $\alpha$ وعمودي على مستقيم التقاطع، سيكون متعامدًا مع كل مستقيم في المستوى $\beta$ يمر بنقطة التقاطع نفسها.

الخطوة (2):

نختار نقطة التقاطع $O$ بحيث: $O \in d$

وبما أن المستقيم $m$ عمودي على مستقيم التقاطع $d$، إذن الزاوية بينهما تساوي $90^\circ$: $m \perp d$

الخطوة (3):

• بما أن المستوى $\alpha$ متعامد على المستوى $\beta$، فإن المستقيم $m$ العمودي على مستقيم التقاطع (الذي يمثل خط التقاء المستويين) يكون عموديًا على جميع المستقيمات الواقعة في المستوى الآخر ($\beta$) والتي تمر بنقطة التقاطع نفسها (النقطة O).
• ولأن المستقيم $m$ أصبح عموديًا على عدد لا نهائي من المستقيمات التي تمر بنقطة O في المستوى $\beta$، فهذا يؤدي مباشرةً إلى أن:

$m \perp \beta$

أي أن المستقيم $m$ يصبح عموديًا بشكل كامل على المستوى الآخر ($\beta$).

📍 الخلاصة النهائية (نتيجة البرهان):

✅ أثبتنا أنه إذا تعامد مستويان، فإن أي مستقيم في أحدهما يكون عموديًا على مستقيم التقاطع، يصبح بالضرورة عموديًا على المستوى الآخر بالكامل.