محاضرة 10 / النوع الثاني / تشابة مثلثين

“عمود طوله $7.2 m$ في نهاية مصباح، يتحرك رجل طوله $1.8 m$ مبتعدًا عن العمود بسرعة $30 m/min$. جد معدل تغير طول ظل الرجل.”

لحل هذه المسألة باستخدام معدلات التغير المرتبطة، نتبع الخطوات التالية:

1- تعريف المتغيرات:

• طول العمود: $h_c = 7.2$ م
• طول الرجل: $h_r = 1.8$ م
• المسافة بين الرجل والعمود: $x$ م
• طول ظل الرجل: $s$ م
• سرعة ابتعاد الرجل عن العمود: $\frac{dx}{dt} = 30$ م/دقيقة
• المطلوب: إيجاد معدل تغير طول ظل الرجل $\frac{ds}{dt}$.

2- العلاقة الهندسية:

بما أن الضوء في قمة العمود، فإن هناك مثلثين متشابهين:

1. المثلث الكبير الذي يشمل العمود وظل الرجل والمسافة بين العمود والرجل.
2. المثلث الصغير الذي يشمل الرجل وظله.

وفقًا لتشابه المثلثات، فإن النسبة بين الأطوال تكون:

$$\frac{h_c}{x + s} = \frac{h_r}{s}$$

بالتعويض بالقيم:

$$\frac{7.2}{x + s} = \frac{1.8}{s}$$

3- حل المعادلة لإيجاد $s$:

نضرب الطرفين في $s(x+s)$:

$$7.2 s = 1.8 (x + s)$$

بتوزيع $1.8$:

$$7.2 s = 1.8 x + 1.8 s$$

نجمع الحدود التي تحتوي على $s$ في طرف واحد:

$$7.2 s – 1.8 s = 1.8 x$$ $$5.4 s = 1.8 x$$

بقسمة الطرفين على $5.4$:

$$s = \frac{1.8}{5.4} x$$ $$s = \frac{1}{3} x$$

4- إيجاد معدل تغير ظل الرجل:

نشتق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن $t$:

$$\frac{ds}{dt} = \frac{1}{3} \frac{dx}{dt}$$

بالتعويض عن $\frac{dx}{dt} = 30$:

$$\frac{ds}{dt} = \frac{1}{3} \times 30$$ $$\frac{ds}{dt} = 10$$

الإجابة النهائية:

معدل تغير طول ظل الرجل هو $10$ م/دقيقة.

السؤال:

فَنَارُ فِينَاءٍ ارْتِفَاعُهُ $20m$ يَعْلُوهُ مِصْبَاحٌ كَبِيرٌ. تَحَرَّكَتْ سَفِينَةٌ ارْتِفَاعُهَا $5m$ وَتَبْتَعِدُ عَنِ الْفَنَارِ بِسُرْعَةِ $50 km/h$. جِدْ مَعَدَّلَ تَغَيُّرِ طُولِ ظِلِّ السَّفِينَةِ عَلَى سَطْحِ الْبَحْرِ.

حل المسألة باستخدام معدلات التغير المرتبطة:

1- تعريف المتغيرات:

• ارتفاع الفنار: $h_f = 20m$
• ارتفاع السفينة: $h_s = 5m$
• المسافة بين السفينة والفنار: $x$ (متغير يعتمد على الزمن)
• طول ظل السفينة على سطح البحر: $s$
• سرعة ابتعاد السفينة عن الفنار: $\frac{dx}{dt} = 50$ كم/ساعة
• المطلوب: إيجاد معدل تغير طول ظل السفينة $\frac{ds}{dt}$.

2- العلاقة الهندسية:

بما أن الضوء في قمة الفنار، فإن هناك مثلثين متشابهين:

1. المثلث الكبير يشمل الفنار، المسافة $x + s$، والارتفاع $20m$.
2. المثلث الصغير يشمل السفينة، الظل $s$، والارتفاع $5m$.

بحسب التشابه بين المثلثين:

$$\frac{h_f}{x + s} = \frac{h_s}{s}$$

بالتعويض بالقيم:

$$\frac{20}{x + s} = \frac{5}{s}$$

3- حل المعادلة لإيجاد $s$:

نضرب الطرفين في $s(x+s)$:

$$20s = 5(x + s)$$

بتوزيع $5$:

$$20s = 5x + 5s$$

نقل $5s$ إلى الطرف الآخر:

$$20s – 5s = 5x$$ $$15s = 5x$$

بقسمة الطرفين على 15:

$$s = \frac{5}{15} x$$ $$s = \frac{1}{3} x$$

4- إيجاد معدل تغير ظل السفينة:

نشتق طرفي المعادلة بالنسبة للزمن $t$:

$$\frac{ds}{dt} = \frac{1}{3} \frac{dx}{dt}$$

بالتعويض عن $\frac{dx}{dt} = 50$ كم/ساعة:

$$\frac{ds}{dt} = \frac{1}{3} \times 50$$ $$\frac{ds}{dt} = 16.67 \text{ كم/ساعة}$$

الإجابة النهائية:

معدل تغير طول ظل السفينة هو $16.67$ كم/ساعة.