محاضرة 2 / مراجعة قواعد الاشتقاق

مشتقة مجموع أو طرح عدد من الدوال

مشتقة مجموع أو طرح عدد من الدوال تعتمد على قاعدة الاشتقاق الأساسية التي تنص على أن:

$$\frac{d}{dx} \left[ f(x) \pm g(x) \right] = f'(x) \pm g'(x)$$

أي أن:

• مشتقة مجموع دالتين هي مجموع مشتقات كل دالة على حدة.
• مشتقة طرح دالتين هي طرح مشتقات كل دالة على حدة.

أمثلة:

1. إيجاد مشتقة $f(x) = x^2 + 3x$

   $$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2) + \frac{d}{dx} (3x) = 2x + 3$$

2. إيجاد مشتقة $g(x) = x^3 – 5x^2 + 4x$

   $$g'(x) = \frac{d}{dx} (x^3) – \frac{d}{dx} (5x^2) + \frac{d}{dx} (4x)$$ $$g'(x) = 3x^2 – 10x + 4$$

حاصل الضرب في المشتقات

عند اشتقاق حاصل ضرب دالتين، نستخدم قاعدة حاصل الضرب، والتي تنص على أن:

$$\frac{d}{dx} [f(x) \cdot g(x)] = f(x) \cdot g'(x) + g(x) \cdot f'(x)$$

تفسير القاعدة:

• نشتق الدالة الأولى $f(x)$ ونضربها في الدالة الثانية كما هي.
• ثم نشتق الدالة الثانية $g(x)$ ونضربها في الدالة الأولى كما هي.
• وأخيرًا، نجمع النتيجتين معًا.

أمثلة:

المثال الأول:

إذا كانت $f(x) = x^2$ و $g(x) = \sin x$، فإن مشتقة حاصل ضربهما:

$$\frac{d}{dx} [x^2 \sin x] = x^2 \cdot \cos x + \sin x \cdot 2x$$ $$= x^2 \cos x + 2x \sin x$$

المثال الثاني:

إذا كانت $f(x) = e^x$ و $g(x) = x^3$، فإن:

$$\frac{d}{dx} [e^x \cdot x^3] = e^x \cdot 3x^2 + x^3 \cdot e^x$$ $$= e^x (3x^2 + x^3)$$

متى نستخدم هذه القاعدة؟

تستخدم قاعدة حاصل الضرب عندما يكون لدينا دالتان مضروبتان ببعضهما، ولا يمكن تبسيطهما إلى مجموع أو طرح بسهولة.

قاعدة مشتقة حاصل قسمة دالتين

قاعدة مشتقة حاصل قسمة دالتين

عند اشتقاق قسمة دالتين، نستخدم قاعدة القسمة، والتي تنص على:

$$\frac{d}{dx} \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right] = \frac{f'(x) g(x) – f(x) g'(x)}{[g(x)]^2}$$

شرح القاعدة:

• نشتق البسط $f(x)$ ونضربه في المقام كما هو.
• نشتق المقام $g(x)$ ونضربه في البسط كما هو.
• نطرح النتيجتين.
• نقسم على مربع المقام $[g(x)]^2$.

أمثلة تطبيقية

المثال الأول:

إذا كانت الدالة:

$$h(x) = \frac{x^2}{x+1}$$

نحسب مشتقتها باستخدام قاعدة القسمة:

1. $f(x) = x^2$ و $f'(x) = 2x$
2. $g(x) = x+1$ و $g'(x) = 1$

$$h'(x) = \frac{(2x)(x+1) – (x^2)(1)}{(x+1)^2}$$ $$= \frac{2x^2 + 2x – x^2}{(x+1)^2}$$ $$= \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2}$$

المثال الثاني:

إذا كانت الدالة:

$$f(x) = \frac{\sin x}{x^2}$$

نحسب المشتقة:

1. $f(x) = \sin x$ و $f'(x) = \cos x$
2. $g(x) = x^2$ و $g'(x) = 2x$

$$f'(x) = \frac{\cos x \cdot x^2 – \sin x \cdot 2x}{x^4}$$ $$= \frac{x^2 \cos x – 2x \sin x}{x^4}$$ $$= \frac{x \cos x – 2 \sin x}{x^3}$$

متى نستخدم قاعدة القسمة؟

نستخدم هذه القاعدة عندما يكون لدينا كسر يتكون من بسط ومقام، ولا يمكن تبسيطه إلى حاصل ضرب أو مجموع بسهولة.

مشتقة دالة مرفوعة إلى أس

مشتقة دالة مرفوعة إلى أس

عند اشتقاق دالة مرفوعة إلى قوة، نستخدم قاعدة السلسلة، والتي تنص على:

$$\frac{d}{dx} \left[ f(x) \right]^n = n \cdot [f(x)]^{n-1} \cdot f'(x)$$

شرح القاعدة:

• ننزل الأس $n$ أمام الدالة.
• نطرح 1 من الأس.
• نضرب في مشتقة الدالة الأصلية $f(x)$.

أمثلة على الاشتقاق

المثال الأول:

إذا كانت الدالة:

$$y = (x^2 + 3x)^4$$

نحسب المشتقة باستخدام القاعدة:

1. نحدد $f(x) = x^2 + 3x$ و $n = 4$.
2. نشتق $f(x)$ لنحصل على $f'(x) = 2x + 3$.
3. نطبق القاعدة:

$$y’ = 4(x^2 + 3x)^3 \cdot (2x + 3)$$

المثال الثاني:

إذا كانت الدالة:

$$y = (\sin x)^5$$

1. نحدد $f(x) = \sin x$ و $n = 5$.
2. نشتق $f(x)$ لنحصل على $f'(x) = \cos x$.
3. نطبق القاعدة:

$$y’ = 5 (\sin x)^4 \cdot \cos x$$

متى نستخدم هذه القاعدة؟

تُستخدم قاعدة مشتقة دالة مرفوعة إلى أس عندما يكون لدينا تعبير من الشكل $[f(x)]^n$، حيث توجد دالة داخل القوس مرفوعة إلى قوة.