وزاريات المجموعة الثانية ج3 فيزياء السادس

نص السؤال:

(3/2015)
متسعتان من ذوات الصفائح المتوازيتين مربوطةان مع بعضهما $C_1 = 3 \mu F$، $C_2 = 6 \mu F$ على التوالي. شحنت المجموعة بشحنة كلية مقدارها $72 \mu C$.

1. احسب مقدار فرق الجهد الكلي بين طرفي المجموعة؟
2. فرق الجهد بين صفيحتي كل متسعة؟
3. الطاقة المختزنة في المجال الكهربائي بين صفيحتي كل متسعة؟

الحل:

ملاحظات:

• في التوصيل على التوالي:
  • الشحنة على كل متسعة متساوية $Q = 72 \mu C$
  • فرق الجهد يتوزع حسب السعات

1. حساب فرق الجهد الكلي:

فرق الجهد من قانون:

$$V = \frac{Q}{C} \quad \Rightarrow \quad V_{كلي} = \frac{Q}{C_{مكافئة}}$$

نحسب السعة المكافئة للتوصيل على التوالي:

$$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \Rightarrow C_{eq} = 2 \mu F$$ $$V_{total} = \frac{72 \mu C}{2 \mu F} = 36\, V$$

✅ فرق الجهد الكلي = 36V

2. فرق الجهد بين صفيحتي كل متسعة:

$$V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{72}{3} = 24\,V$$ $$V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{72}{6} = 12\,V$$

✅ فرق الجهد على $C_1 = 24V$، وعلى $C_2 = 12V$

3. الطاقة المختزنة في كل متسعة:

قانون الطاقة:

$$PE = \frac{1}{2} C V^2$$

المتسعة الأولى $C_1 = 3 \mu F , V_1 = 24V$:

$$PE_1 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 10^{-6} \cdot (24)^2 = 0.5 \cdot 3 \cdot 576 \cdot 10^{-6} = 864 \cdot 10^{-6} = 864 \mu J$$

المتسعة الثانية $C_2 = 6 \mu F , V_2 = 12V$:

$$PE_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 10^{-6} \cdot (12)^2 = 0.5 \cdot 6 \cdot 144 \cdot 10^{-6} = 432 \cdot 10^{-6} = 432 \mu J$$

الإجابات النهائية:

1. فرق الجهد الكلي: $\boxed{36\,V}$
2. فرق الجهد على كل متسعة:
   $V_1 = 24\,V$, $V_2 = 12\,V$
3. الطاقة المختزنة:
   $PE_1 = 864\,\mu J$, $PE_2 = 432\,\mu J$

السؤال (3 / 2019):

مكثفتان $C_1 = 9\,\mu F$ و $C_2 = 18\,\mu F$ من ذوات الصفيفتين المتوازيتين مربوطتان مع بعضهما على التوالي، وربطت مجموعتهما مع مصدر فرق الجهد الكهربائي بين قطبيه $12\,V$.

1) احسب مقدار السعة المكافئة.
2) فرق الجهد بين صفيحتي كل متسعة؟

الحل:

أولاً: حساب السعة المكافئة (للتوصيل على التوالي):

في حالة التوصيل على التوالي بين المكثفات، نحسب السعة المكافئة بالعلاقة:

$$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$$ $$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2 + 1}{18} = \frac{3}{18}$$ $$\Rightarrow C_{eq} = \frac{18}{3} = 6\,\mu F$$

ثانياً: حساب فرق الجهد بين صفيحتي كل متسعة:

في التوصيل على التوالي، الشحنة متساوية على المكثفين، ولكن فرق الجهد يتوزع حسب العلاقة:

$$V = V_1 + V_2 = 12\,V$$

وباستخدام العلاقة $Q = C \cdot V$، نحصل على:

$$Q = C_{eq} \cdot V = 6\,\mu F \cdot 12\,V = 72\,\mu C$$

ثم نحسب فرق الجهد على كل مكثف:

• بالنسبة إلى $C_1 = 9\,\mu F$:

$$V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{72}{9} = 8\,V$$

• بالنسبة إلى $C_2 = 18\,\mu F$:

$$V_2 = \frac{Q}{C_2} = \frac{72}{18} = 4\,V$$

النتائج النهائية:

1. السعة المكافئة = $6\,\mu F$
2. فرق الجهد على $C_1$ = $8\,V$
   فرق الجهد على $C_2$ = $4\,V$

السؤال (1 / 2021 – ت / 2019):

ثلاث متسعات من ذوات الصفيفتين المتوازيتين سعتها:
$12\,\mu F$، $6\,\mu F$، $4\,\mu F$ مربوطة مع بعضها على التوالي، وشحنت المجموعة بشحنة كلية $240\,\mu C$.

1) احسب مقدار السعة المكافئة للمجموعة؟
2) الشحنة المختزنة في أي من صفيحتي كل متسعة؟
3) فرق الجهد الكلي بين طرفي المجموعة؟

الحل:

أولاً: حساب السعة المكافئة (توصيل على التوالي):

$$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4}$$

نقوم بتوحيد المقامات:

$$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{12} + \frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$ $$\Rightarrow C_{eq} = 2\,\mu F$$

ثانيًا: الشحنة المختزنة في كل متسعة:

في التوصيل على التوالي، الشحنة متساوية على جميع المتسعات:

$$Q = 240\,\mu C$$

إذًا الشحنة على كل متسعة هي:
$Q_1 = Q_2 = Q_3 = 240\,\mu C$

ثالثًا: فرق الجهد على كل متسعة (باستخدام: $V = \frac{Q}{C}$)

• على $C_1 = 12\,\mu F$:

  $$V_1 = \frac{240}{12} = 20\,V$$

• على $C_2 = 6\,\mu F$:

  $$V_2 = \frac{240}{6} = 40\,V$$

• على $C_3 = 4\,\mu F$:

  $$V_3 = \frac{240}{4} = 60\,V$$

رابعًا: فرق الجهد الكلي:

$$V_{total} = V_1 + V_2 + V_3 = 20 + 40 + 60 = 120\,V$$

النتائج النهائية:

1. السعة المكافئة = $2\,\mu F$
2. الشحنة المختزنة على كل متسعة = $240\,\mu C$
3. فرق الجهد الكلي = $120\,V$

السؤال (3 / 2020):

مكثفتان $C_1 = 3\,\mu F$، $C_2 = 6\,\mu F$ من ذوات الصفائح المتوازية مربوطتان مع بعضهما على التوالي، وربطت مجموعتهما مع مصدر فرق جهد $V = 24\,V$.

احسب مقدار:

1. فرق الجهد بين صفيحتي كل متسعة؟
2. الطاقة المختزنة في كل متسعة؟

الحل:

أولاً: حساب السعة المكافئة:

لأن التوصيل على التوالي، نستخدم:

$$\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2 + 1}{6} = \frac{3}{6} \Rightarrow C_{eq} = \frac{6}{3} = 2\,\mu F$$

ثانيًا: حساب الشحنة الكلية (متساوية على كل متسعة):

$$Q = C_{eq} \cdot V = 2\,\mu F \cdot 24\,V = 48\,\mu C$$

إذًا الشحنة على كل مكثفة:

$$Q_1 = Q_2 = 48\,\mu C$$

ثالثًا: فرق الجهد على كل مكثفة (V = Q / C):

• $V_1 = \frac{Q}{C_1} = \frac{48}{3} = 16\,V$
• $V_2 = \frac{48}{6} = 8\,V$

رابعًا: حساب الطاقة المختزنة في كل متسعة (E = ½ C V²):

• المتسعة الأولى:

  $$E_1 = \frac{1}{2} \cdot 3\,\mu F \cdot (16)^2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 256 = 384\,\mu J$$

• المتسعة الثانية:

  $$E_2 = \frac{1}{2} \cdot 6\,\mu F \cdot (8)^2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 64 = 192\,\mu J$$

النتائج النهائية:

1. فرق الجهد على كل متسعة:
   • $V_1 = 16\,V$
   • $V_2 = 8\,V$
2. الطاقة المختزنة:
   • $E_1 = 384\,\mu J$
   • $E_2 = 192\,\mu J$