التباديل – الرياضيات – الصف السادس الأدبي

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته، طلاب الصف السادس الأدبي. إن شاء الله تكونون بخير أينما كنتم. نكمل اليوم موضوعنا الثالث من الفصل الأول، وهو التباديل، أحد المواضيع المهمة وسهلة الفهم والتي تتكرر في الامتحانات الوزارية.

تعريف التباديل:

التباديل هي طريقة لعد الترتيبات المختلفة الممكنة لمجموعة من العناصر بحيث يؤخذ ترتيب العناصر بعين الاعتبار.
رمز التباديل هو الحرف (P) ويقرأ تباديل (N) للـ (R)، حيث:

• $N$ هو العدد الكلي (الكبير).
• $R$ هو عدد العناصر المختارة (الصغير).
• أحيانًا يكون $N = R$.

قانون التباديل العام:

قانون حساب عدد التباديل هو:

$$P(N, R) = \frac{N!}{(N – R)!}$$

حيث:

• $N!$ (مضروب العدد $N$) = $N \times (N-1) \times (N-2) \times \dots \times 1$.
• كذلك مضروب الصفر $0! = 1$.

أمثلة توضيحية:

1. تباديل الأربعة للصفر:

حسب القانون:

$$P(4, 0) = \frac{4!}{(4-0)!} = \frac{4!}{4!} = 1$$

استنتاج: تباديل أي عدد للصفر دائمًا تساوي 1.

2. تباديل الخمسة للاثنين:

$$P(5, 2) = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!}$$

نفتح المضروب:

$$5 \times 4 \times 3! \div 3! = 5 \times 4 = 20$$

القانون السريع للتباديل:

بدل استخدام القانون العام الطويل، نستطيع حساب التباديل سريعًا:

التباديل = ضرب $N$ في عدد خطوات $R$ بالتناقص.

مثال:

• تباديل خمسة للثلاثة = $5 \times 4 \times 3 = 60$.
• تباديل ستة للأربعة = $6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$.
• تباديل سبعة للثلاثة = $7 \times 6 \times 5 = 210$.
• تباديل عشرة للاثنين = $10 \times 9 = 90$.

واجب للطلاب:

• حساب $P(7, 4)$
• حساب $P(6, 3)$

أسئلة وزارية وأمثلة متقدمة:

سؤال 1:

احسب:

$$\frac{1}{56} \times \left( P(8,2) + P(8,3) \right)$$

الحل:

• $P(8,2) = 8 \times 7 = 56$
• $P(8,3) = 8 \times 7 \times 6 = 336$

العملية:

$$\frac{1}{56} \times (56 + 336) = \frac{1}{56} \times 392 = 7$$

سؤال 2:

احسب:

$$\frac{1}{210} \times \left( P(7,4) + P(7,4) \right)$$

الحل:

• $P(7,4) = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$

العملية:

$$\frac{1}{210} \times (840 + 840) = \frac{1680}{210} = 8$$

إيجاد قيمة $N$ أو $R$ من معادلة تباديل:

كيفية فتح تباديل N:

• تباديل $N$ لاثنين = $N \times (N-1)$
• تباديل $N$ لثلاثة = $N \times (N-1) \times (N-2)$
• وهكذا…

سؤال 3: جد قيمة $N$

إذا علمت أن:

$$P(N,2) = 42$$

الحل:

$$N(N-1) = 42$$

نحل المعادلة بالتجربة أو التحليل:

• $N = 7$

سؤال 4: جد قيمة $R$

إذا علمت أن:

$$P(6,R) = P(6,2)$$

نفتح بالقانون العام ثم نختصر:

• يتبين أن $R = 2$.

ملاحظات هامة:

نستخدم التباديل في المسائل عندما:

• يهم الترتيب.
• لا يسمح بالتكرار.
• يتم ذكر كلمات مثل (مختلفة – متمايزين – ترتيب مهم – جلوس على كراسي – توزيع وظائف).

أمثلة إضافية على مسائل التباديل:

1. عدد الكلمات من حروف مختلفة:

من خمسة أحرف، أريد كلمات من أربعة أحرف:

$$P(5,4) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$$

2. توزيع أشخاص على كراسي:

سبعة طلاب يجلسون على ثلاثة كراسي:

$$P(7,3) = 7 \times 6 \times 5 = 210$$

3. توزيع وظائف:

خمسة أشخاص على خمس وظائف:

$$P(5,5) = 5! = 120$$

4. اختيار رجال بترتيب:

اختيار 4 رجال من بين 7:

$$P(7,4) = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$$

خاتمة:

بذلك نكون قد أنهينا شرح موضوع التباديل بالكامل مع الأمثلة والتمارين والخواص اللازمة. المحاضرة القادمة بإذن الله ستكون عن التوافيق. بالتوفيق لكم جميعاً.