التطبيقات الفيزيائية للمشتقة – المحاضرة الثانية | السادس الأدبي

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته، طلاب الصف السادس الأدبي الأعزاء.
نكمل معكم شرح موضوع التطبيقات الفيزيائية في المشتقة. هذه المحاضرة تعتبر المحاضرة الثانية في هذا الموضوع. سنحل السؤال الرابع الذي تم إعطاؤه كواجب في المحاضرة السابقة.
ملاحظة مهمة: يجب أن تكون قد راجعت المحاضرة الأولى جيدًا قبل متابعة هذه المحاضرة.

مراجعة قوانين أساسية

قبل أن نبدأ بحل السؤال، دعونا نراجع معًا بعض القوانين المهمة:

• دالة السرعة (v(t)): هي مشتقة دالة الإزاحة (s(t)).
  • بالرموز:

    $$v(t) = \frac{d}{dt} s(t) = s'(t)$$

• دالة التعجيل (a(t)): هي مشتقة دالة السرعة.
  • بالرموز:

    $$a(t) = \frac{d}{dt} v(t) = v'(t)$$

نص السؤال الرابع (المعطى واجبًا)

إذا تحرك جسم وفقًا للعلاقة:

$$s(t) = t^3 – 6t^2 + 18t + 12$$حيث $s(t)$ تمثل الإزاحة بالأمتار والزمن بالثواني.

المطلوب: احسب بعد الجسم (الإزاحة) و سرعته عندما يصبح التعجيل مساويًا للصفر.

خطوات الحل بالتفصيل

1. تحديد المعطيات:

• المعطى: دالة الإزاحة $s(t)$.
• المطلوب: البعد والسرعة عندما يكون التعجيل صفرًا.
• ملاحظة: لم يُعطى الزمن مباشرة، بل يجب حسابه عن طريق التعجيل.

2. إيجاد دالة السرعة

دالة السرعة هي مشتقة دالة الإزاحة:

$$v(t) = \frac{d}{dt} s(t)$$

نشتق:

• مشتقة $t^3$ هي $3t^2$.
• مشتقة $-6t^2$ هي $-12t$.
• مشتقة $18t$ هي $18$.
• مشتقة الثابت $12$ هي صفر.

إذن:

$$v(t) = 3t^2 – 12t + 18$$

3. إيجاد دالة التعجيل

دالة التعجيل هي مشتقة دالة السرعة:

$$a(t) = \frac{d}{dt} v(t)$$

نشتق:

• مشتقة $3t^2$ هي $6t$.
• مشتقة $-12t$ هي $-12$.
• مشتقة الثابت $18$ هي صفر.

إذن:

$$a(t) = 6t – 12$$

4. إيجاد الزمن الذي يصبح فيه التعجيل صفرًا

نساوي دالة التعجيل بالصفر:

$$6t – 12 = 0$$

نحل المعادلة:

$$6t = 12$$ $$t = 2 \, \text{ثانية}$$

5. حساب الإزاحة (البعد)

نعوض قيمة $t = 2$ بدالة الإزاحة:

$$s(2) = (2)^3 – 6(2)^2 + 18(2) + 12$$ $$= 8 – 24 + 36 + 12$$ $$= 32 \, \text{متر}$$

إذن البعد = 32 متر.

6. حساب السرعة

نعوض نفس القيمة $t = 2$ بدالة السرعة:

$$v(2) = 3(2)^2 – 12(2) + 18$$ $$= 3(4) – 24 + 18$$ $$= 12 – 24 + 18$$ $$= 6 \, \text{متر/ثانية}$$

إذن السرعة = 6 متر/ثانية.

سؤال إضافي (واجب للطلاب)

تحرك جسم حسب العلاقة:

$$s(t) = \frac{1}{3} t^3 – t^2 + 3t$$جد السرعة عندما يكون التعجيل صفرًا.

تلميح للحل:

• احسب أولًا دالة السرعة $v(t)$.
• ثم احسب دالة التعجيل $a(t)$.
• ساوِ دالة التعجيل بالصفر وأوجد قيمة $t$.
• عوض قيمة $t$ بدالة السرعة للحصول على النتيجة.

ملاحظة: السرعة الناتجة يجب أن تكون -1.

شرح إضافي (اشتقاق الدوال الجذرية)

قانون سريع لاشتقاق الجذر التربيعي

إذا كان لديك دالة مثل:

$$s(t) = \sqrt{2t+1}$$

فإن مشتقتها باستخدام القاعدة السريعة هي:

$$v(t) = \frac{\text{مشتقة داخل الجذر}}{2 \times \text{نفس الجذر}}$$

توضيح أكثر:

• مشتقة داخل الجذر $2t + 1$ هي 2.
• إذن:

$$v(t) = \frac{2}{2\sqrt{2t+1}}$$

نبسط:

$$v(t) = \frac{1}{\sqrt{2t+1}}$$

تطبيق عملي (سؤال محلول)

جسم يتحرك حسب العلاقة:

$$s(t) = \sqrt{2t+1}$$احسب الزمن اللازم لجعل السرعة تساوي $\frac{1}{3}$.

خطوات الحل:

1. استخرج دالة السرعة باستخدام القاعدة السريعة:

$$v(t) = \frac{1}{\sqrt{2t+1}}$$

2. اعوض السرعة المعطاة:

$$\frac{1}{\sqrt{2t+1}} = \frac{1}{3}$$

3. وسطين في طرفين:

$$\sqrt{2t+1} = 3$$

4. تربيع الطرفين:

$$2t+1 = 9$$

5. حل المعادلة:

$$2t = 8$$ $$t = 4 \, \text{ثواني}$$

واجب إضافي للطلاب

تحرك جسم حسب العلاقة:

$$s(t) = \sqrt{2t+1}$$احسب بعده عندما تصبح سرعته مساوية لواحد.

• احسب دالة السرعة.
• اعوض السرعة تساوي 1 وأوجد الزمن.
• ثم عوض الزمن بدالة الإزاحة لإيجاد البعد.

خلاصة المحاضرة

• دالة السرعة هي مشتقة الإزاحة.
• دالة التعجيل هي مشتقة السرعة.
• عندما يطلب منك زمن معين بناءً على شرط السرعة أو التعجيل، استخرج أولاً الدوال المطلوبة ثم حل المعادلة.
• استخدم القاعدة السريعة لاشتقاق الجذور التربيعية لتسريع الحل.
• تدرب جيدًا على الواجبات لتثبيت المعلومات.