التطبيقات الفيزيائية في المشتقة للصف السادس الأدبي الجزء الاول

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته طلاب الصف السادس الأدبي،
موضوعنا اليوم هو التطبيقات الفيزيائية في المشتقة. هذا الموضوع كان محذوفًا في السنوات السابقة، لكنه عاد هذا العام ودخل ضمن المناهج الرسمية. لذلك، سأكمل لكم شرح النقوصات والمواضيع التي كانت محذوفة، لتكونوا على استعداد تام للامتحان النهائي بإذن الله.

ما هي التطبيقات الفيزيائية في المشتقة؟

في التطبيقات الفيزيائية للمشتقة، سنتعامل مع ثلاث دوال أساسية:

1. دالة الإزاحة (𝑠(𝑡))
2. دالة السرعة (𝑣(𝑡))
3. دالة التعجيل (أو التسارع) (𝑎(𝑡))

كل دالة مرتبطة بالزمن (t)، ورموزها كالتالي:

• الإزاحة: $s(t)$
• السرعة: $v(t)$
• التعجيل: $a(t)$

العلاقة بين الإزاحة والسرعة والتعجيل

لفهم العلاقة بين هذه الدوال الثلاثة، يمكنك تخيل ثلاث عمارات مرتبة من الأكبر إلى الأصغر:

• العمارة الكبيرة: الإزاحة $s(t)$
• العمارة المتوسطة: السرعة $v(t)$
• العمارة الصغيرة: التعجيل $a(t)$

ملاحظة مهمة:

• إذا أعطاك السؤال دالة الإزاحة وطلب السرعة: اشتق دالة الإزاحة.
• إذا أعطاك دالة السرعة وطلب التعجيل: اشتق دالة السرعة.

بمعنى آخر:

• السرعة هي مشتقة الإزاحة.
• التعجيل هو مشتقة السرعة.

خطوات حل المسائل الفيزيائية في المشتقة

1. قراءة معطيات السؤال وتحديد نوع الدالة المعطاة (إزاحة أو سرعة).
2. معرفة المطلوب (سرعة أو تعجيل).
3. إجراء الاشتقاق المناسب (اشتق الإزاحة للحصول على السرعة، أو اشتق السرعة للحصول على التعجيل).
4. تعويض الزمن المطلوب في الدالة الناتجة لإيجاد القيم المطلوبة.

تطبيق عملي (سؤال محلول)

السؤال الأول
جسم يتحرك وفق العلاقة:
$s(t) = t^3 + 3t^2 + 4t + 1$
(حيث $s(t)$ تقاس بالأمتار، والزمن بالدقائق)

المطلوب:

1. احسب سرعته بعد 5 دقائق.
2. احسب تعجيله بعد 5 دقائق.

الحل:

أولاً: حساب السرعة

السرعة $v(t)$ هي مشتقة الإزاحة $s(t)$:

$$v(t) = \frac{d}{dt}(t^3 + 3t^2 + 4t + 1) = 3t^2 + 6t + 4$$

نعوض $t = 5$ دقائق:

$$v(5) = 3(5)^2 + 6(5) + 4 = 3(25) + 30 + 4 = 75 + 30 + 4 = 109$$

الوحدة: متر/دقيقة.

إذاً السرعة بعد 5 دقائق = 109 متر/دقيقة.

ثانياً: حساب التعجيل

التعجيل $a(t)$ هو مشتقة السرعة $v(t)$:

$$a(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 + 6t + 4) = 6t + 6$$

نعوض $t = 5$:

$$a(5) = 6(5) + 6 = 30 + 6 = 36$$

الوحدة: متر/دقيقة².

إذاً التعجيل بعد 5 دقائق = 36 متر/دقيقة².

ملاحظة هامة:

• الزمن بالدقائق يعبر عنه بــ Min (منت).
• لو كان الزمن بالثواني نستخدم Sec (سكند).
• الوحدة تغير حسب الزمن المعطى.

سؤال إضافي للتدريب

السؤال الثاني
جسم يتحرك وفق العلاقة:
$s(t) = 2t^3 + 5t$
(الإزاحة بالمتر، الزمن بالثواني)

المطلوب:

1. احسب السرعة بعد 2 ثانية.
2. احسب التعجيل بعد 2 ثانية.

الحل:

أولاً: حساب السرعة

$$v(t) = \frac{d}{dt}(2t^3 + 5t) = 6t^2 + 5$$

تعويض $t = 2$:

$$v(2) = 6(2)^2 + 5 = 6(4) + 5 = 24 + 5 = 29$$

الوحدة: متر/ثانية.

ثانياً: حساب التعجيل

$$a(t) = \frac{d}{dt}(6t^2 + 5) = 12t$$

تعويض $t = 2$:

$$a(2) = 12(2) = 24$$

الوحدة: متر/ثانية².

ملاحظات مهمة

• إذا ذكر في السؤال “بعده”، “موضعه”، أو “موقعه”، فاعلم أن المطلوب هو الإزاحة.
• إذا طلب حساب السرعة أو التعجيل يجب أن:
  • تكون الدالة موجودة (دالة الإزاحة للسرعة، ودالة السرعة للتعجيل).
  • يكون الزمن معلوم لتعويضه في الدالة الناتجة.
• عند القول بأن السرعة أو التعجيل أصبح صفرًا، فهذا يعني أنه يجب إيجاد قيمة الزمن $t$ من خلال حل المعادلة الناتجة.

تدريب إضافي

السؤال الثالث
جسم يتحرك وفق العلاقة:
$s(t) = t^2 – 20t + 120$
(الإزاحة بالكيلومتر، الزمن بالساعات)

المطلوب:

1. حساب السرعة بعد 5 ساعات.
2. حساب البعد عندما تصبح السرعة صفرًا.

الحل:

أولاً: حساب السرعة

اشتقاق دالة الإزاحة:

$$v(t) = 2t – 20$$

تعويض $t = 5$:

$$v(5) = 2(5) – 20 = 10 – 20 = -10$$

الوحدة: كيلومتر/ساعة.

ثانياً: حساب البعد عندما تصبح السرعة صفرًا

نجعل السرعة تساوي صفر:

$$2t – 20 = 0$$ $$2t = 20$$ $$t = 10 \text{ ساعات}$$

نعوض $t = 10$ في دالة الإزاحة:

$$s(10) = (10)^2 – 20(10) + 120$$ $$= 100 – 200 + 120$$ $$= 20 \text{ كيلومتر}$$

خلاصة

• السرعة هي مشتقة الإزاحة.
• التعجيل هو مشتقة السرعة.
• لمعرفة البعد عندما تكون السرعة أو التعجيل صفرًا، نحل المعادلة لإيجاد الزمن ثم نعوضه في دالة الإزاحة.