التوافيق – رياضيات الصف السادس الأدبي

🟢 أولاً: تعريف التوافيق (Combinations)

التوافيق هي عدد الطرق الممكنة لاختيار عناصر من مجموعة معينة دون الاهتمام بالترتيب.

نستخدم التوافيق عندما:

• لا يهم ترتيب العناصر.
• التكرار غير مسموح.

🟢 ثانيًا: رمز التوافيق

يُرمز للتوافيق بعدة أشكال:

• $$C(n, r) \quad \text{أو} \quad {}^nC_r \quad \text{أو} \quad \binom{n}{r}$$

حيث:

• $n$: عدد العناصر الكلي (العدد الكبير).
• $r$: عدد العناصر المختارة (العدد الصغير).

🟢 ثالثًا: قوانين أساسية للتوافيق

• $$C(n, 0) = 1$$
• $$C(n, n) = 1$$
• $$C(n, 1) = n$$

أمثلة:

$$C(5, 0) = 1 \quad، \quad C(16, 0) = 1 \quad، \quad C(90, 90) = 1$$

🟢 رابعًا: قانون حساب التوافيق

$$C(n, r) = \frac{P(n, r)}{r!} \quad \text{أو} \quad C(n, r) = \frac{n!}{r! (n – r)!}$$

حيث:

• $P(n, r)$: التباديل (عدد الترتيبات).
• $r!$: مضروب العدد $r$.

🟢 خامسًا: أمثلة محلولة

✅ مثال 1:

$$C(6, 2) = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$$

✅ مثال 2:

$$C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$$

✅ مثال 3:

$$C(6, 4) = C(6, 2) = 15 \quad \text{(بسبب خاصية التماثل: } C(n, r) = C(n, n – r) \text{)}$$

✅ مثال 4:

$$C(10, 7) = C(10, 3) = 120$$

🟢 سادسًا: إيجاد قيمة $n$

✅ مثال 1:

$$C(n, 2) = 6 \quad \Rightarrow \quad \frac{n(n – 1)}{2} = 6 \quad \Rightarrow \quad n(n – 1) = 12 \quad \Rightarrow \quad n = 4$$

✅ مثال 2:

$$C(12, 2) = 66 \quad \Rightarrow \quad \frac{12 \times 11}{2} = 66 \quad ✅ صحيح$$

✅ مثال 3: خاصية تحويل

$$2 \times C(n, 2) = C(n + 1, 3) \quad \text{(خاصية تحويلية مفيدة في التوسع)}$$

🟢 سابعًا: خواص هامة في التوافيق

1. $$C(n, r) = C(n, n – r) \quad \text{(خاصية التماثل)}$$
2. $$C(n, 0) = C(n, n) = 1$$
3. $$C(n, 1) = C(n, n – 1) = n$$
4. $$C(n + 1, r) = C(n, r – 1) + C(n, r) \quad \text{(مثلث باسكال)}$$

🟢 ثامنًا: تمرينات للطلاب (واجبات تدريبية)

1. $$C(6, 2) = ?$$
2. $$C(10, 3) = ?$$
3. $$C(6, 4) = ? \quad \text{وقارنه بـ } C(6, 2)$$
4. $$C(n, 2) = 6 \quad \text{(جد قيمة } n \text{)}$$
5. $$2 \times C(n, 2) = C(n + 1, 3) \quad \text{(جد } n \text{ إذا أمكن)}$$

🟢 خلاصة الفرق بين التباديل والتوافيق: