ايجاد المجاهيل و إيجاد النقاط من معادلة المماس – للصف السادس الأدبي

أهلاً وسهلاً بطلاب الصف السادس الأدبي. نكمل معكم اليوم المحاضرة الأخيرة من موضوع إيجاد معادلة المماس. بعد أن تعلمنا كيفية إيجاد معادلة المماس، سنتعلم الآن حالة جديدة: عندما يُعطى لنا معادلة المماس ويُطلب منا إيجاد النقطة (x, y).

ماذا نفعل عندما يُطلب إيجاد النقاط؟

إذا طُلب منك في السؤال “جد النقطة أو النقاط” المرتبطة بمعادلة مماس معينة، فهناك حالتان:

1. عندما يكون المماس يوازي محور السينات.
2. عندما يكون المماس يوازي مستقيماً معلوماً.

سنتناول كل حالة بالتفصيل.

الحالة الأولى: المماس يوازي محور السينات

عندما يقول السؤال: “المماس يوازي محور السينات“، فإننا نتبع الخطوات الآتية:

• نعلم أن ميل المماس = 0 (لأن الميل بالنسبة لمحور السينات = صفر).
• الميل هو نفسه المشتقة الأولى.
• إذًا نشتق الدالة ونجعل المشتقة تساوي صفر، ثم نوجد قيمة $x$.
• بعد إيجاد $x$، نعوضه في الدالة الأصلية لنوجد $y$.

ملاحظة:

دائمًا لإيجاد قيمة $y$، عوض قيمة $x$ في الدالة الأصلية، وليس في المشتقة.

مثال تطبيقي:

السؤال:
جد إحداثيات النقاط التي عندها يكون المماس لمنحنى الدالة
$f(x) = x^2 – 8x + 5$
يوازي محور السينات.

الحل:

1. نشتق الدالة:

   $$f'(x) = 2x – 8$$

2. نساوي المشتقة بالصفر:

   $$2x – 8 = 0$$

3. بحل المعادلة:

   $$2x = 8 \quad \Rightarrow \quad x = 4$$

4. نعوض $x = 4$ في الدالة الأصلية:

   $$y = (4)^2 – 8(4) + 5 = 16 – 32 + 5 = -11$$

5. إذًا، النقطة المطلوبة هي:

   $$(4, -11)$$

مثال آخر:

السؤال:
جد النقاط التي عندها يكون المماس للدالة
$f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 4$
يوازي محور السينات.

الحل:

1. نشتق الدالة:

   $$f'(x) = 3x^2 – 6x – 9$$

2. نساوي المشتقة بالصفر:

   $$3x^2 – 6x – 9 = 0$$بقسمة المعادلة على 3:

   $$x^2 – 2x – 3 = 0$$

3. نحلل المعادلة:

   $$(x – 3)(x + 1) = 0$$إذًا:

   $$x = 3 \quad \text{أو} \quad x = -1$$

4. نعوض القيمتين في الدالة الأصلية:

• عندما $x = 3$:

  $$y = (3)^3 – 3(3)^2 – 9(3) + 4 = 27 – 27 – 27 + 4 = -23$$إذًا النقطة الأولى (3, -23).

• عندما $x = -1$:

  $$y = (-1)^3 – 3(-1)^2 – 9(-1) + 4 = -1 – 3 + 9 + 4 = 9$$إذًا النقطة الثانية (-1, 9).

الحالة الثانية: المماس يوازي مستقيم معلوم

إذا قال السؤال: “المماس يوازي مستقيم“، فنقوم بالآتي:

• نحسب ميل المماس عبر اشتقاق الدالة.
• نحسب ميل المستقيم باستخدام القانون:

  $$m = -\frac{معامل\ x}{معامل\ y}$$

• نساوي ميل المماس مع ميل المستقيم لإيجاد $x$.
• ثم نعوض $x$ في الدالة الأصلية لإيجاد $y$.

قانون حساب ميل المستقيم:

ميل المستقيم = $-\frac{معامل x}{معامل y}$

مثال:

• معادلة مستقيم $3y – 6x + 5 = 0$:

  $$m = -\left(\frac{-6}{3}\right) = 2$$

مثال تطبيقي:

السؤال:
جد النقاط التي يكون عندها المماس لمنحنى الدالة
$f(x) = x^2 – 4x + 5$
يوازي المستقيم $2x – y = 0$.

الحل:

1. نشتق الدالة:

   $$f'(x) = 2x – 4$$

2. نجد ميل المستقيم:

   $$m = -\frac{2}{-1} = 2$$

3. نساوي المشتقة مع الميل:

   $$2x – 4 = 2$$بحل المعادلة:

   $$2x = 6 \quad \Rightarrow \quad x = 3$$

4. نعوض $x = 3$ في الدالة الأصلية:

   $$y = (3)^2 – 4(3) + 5 = 9 – 12 + 5 = 2$$

5. إذًا النقطة هي:

   $$(3, 2)$$

أمثلة إضافية للواجب:

1. جد النقاط التي يكون عندها المماس للدالة $f(x) = x^2 – 4x + 5$ يوازي المستقيم $2x – y = 0$.
2. جد النقاط التي يكون عندها المماس للدالة $f(x) = 2x^2 – 5x + 1$ يوازي المستقيم $x + y = 3$.

كيفية إيجاد الثوابت من ميل المماس:

عندما يكون هناك مجهولين مثل $a$ و$b$ في الدالة، وتعطى معلومتان (مثل الميل أو نقطة على المنحنى)، نتبع الخطوات:

1. اشتق الدالة لإيجاد المشتقة.
2. نعوض قيمة $x$ في المشتقة ونساويها بالميل المعطى لإيجاد أول علاقة.
3. نعوض إحداثيات النقطة في الدالة الأصلية لإيجاد العلاقة الثانية.
4. نحل المعادلتين لإيجاد $a$ و$b$.

مثال على إيجاد الثوابت:

السؤال:
جد قيمتي $a$ و$b$ إذا كانت الدالة
$f(x) = x^2 + ax + b$
تعطي ميل المماس عند $x = -1$ يساوي 4، والمنحنى يمر بالنقطة $(-3, 2)$.

الحل:

1. نشتق الدالة:

   $$f'(x) = 2x + a$$

2. نعوض $x = -1$ في المشتقة:

   $$2(-1) + a = 4 \quad \Rightarrow \quad -2 + a = 4 \quad \Rightarrow \quad a = 6$$

3. نعوض $x = -3$ و$y = 2$ في الدالة الأصلية:

   $$2 = (-3)^2 + 6(-3) + b \quad \Rightarrow \quad 2 = 9 – 18 + b \quad \Rightarrow \quad 2 = -9 + b \quad \Rightarrow \quad b = 11$$

بهذا نكون قد أكملنا شرح موضوع إيجاد النقاط من معادلة المماس بجميع حالاته بالتفصيل. مع التدرب المستمر على هذه الأمثلة ستحترف الحل بسهولة وتضمن أعلى الدرجات إن شاء الله.