إيجاد معادلة المماس والعمودي على المماس – الصف السادس الأدبي

أهلاً وسهلاً بكم طلاب الصف السادس الأدبي في المحاضرة الثانية من موضوع إيجاد معادلة المماس. في المحاضرة السابقة تناولنا ثلاث أمثلة عملية، واليوم سنواصل الشرح من خلال المثال الرابع. دعونا نراجع معًا الخطوات الأساسية لإيجاد معادلة المماس قبل الانتقال إلى حل الأمثلة.

خطوات إيجاد معادلة المماس

عندما يُطلب منك في السؤال: “جد معادلة المماس“، يجب أن تتبع ثلاث خطوات أساسية:

1. إيجاد نقطة:
   تتكون النقطة من إحداثيين (x, y).
2. إيجاد الميل:
   يتم ذلك عبر خطوتين: الاشتقاق أولاً، ثم تعويض قيمة x لإيجاد الميل.
3. كتابة معادلة المماس:
   باستخدام القانون:

   $$y – y_1 = m(x – x_1)$$حيث:

   • $(x_1, y_1)$ هي النقطة.
   • $m$ هو الميل الذي تم إيجاده.

مثال رابع: إيجاد معادلة المماس والعمودي عليه

السؤال:
جد معادلة كل من المماس والعمودي على المماس للمنحني $y = (x – 3)^3$ عند $x = 2$.

الحل:

أولاً: إيجاد النقطة

• هو أعطانا $x = 2$.
• لإيجاد $y$، نعوض قيمة $x$ في الدالة الأصلية:

  $$y = (2 – 3)^3 = (-1)^3 = -1$$

• إذًا النقطة هي:

  $$(2, -1)$$

ثانيًا: إيجاد الميل

• نشتق الدالة:

  $$y’ = 3(x-3)^2 \times (مشتقة داخل القوس)$$مشتقة داخل القوس ($x – 3$) هي 1، إذاً:

  $$y’ = 3(x-3)^2$$

• نعوض $x = 2$ في المشتقة:

  $$y’ = 3(2-3)^2 = 3(-1)^2 = 3(1) = 3$$

• إذًا الميل $m = 3$.

ثالثًا: معادلة المماس

نعوض في القانون:

$$y – y_1 = m(x – x_1)$$

أي:

$$y – (-1) = 3(x – 2)$$

نرتب المعادلة:

$$y + 1 = 3x – 6$$

ننقل:

$$y = 3x – 7$$

هذه هي معادلة المماس.

إيجاد معادلة العمودي على المماس

ملاحظة مهمة:
ميل العمودي على المماس هو مقلوب ميل المماس مع عكس الإشارة.

بما أن:

$$m_{\text{مماس}} = 3$$

فإن:

$$m_{\text{عمودي}} = -\frac{1}{3}$$

نكتب معادلة العمودي

نستخدم نفس النقطة (2, -1):

$$y – y_1 = m(x – x_1)$$

أي:

$$y – (-1) = -\frac{1}{3}(x – 2)$$

نضرب:

$$y + 1 = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3}$$

نرتب:

$$3(y+1) = -x + 2$$ $$3y + 3 = -x + 2$$

نرتبها:

$$x + 3y + 1 = 0$$

هذه معادلة العمودي على المماس.

ملاحظة إضافية: إذا ذكر نقطة تقاطع مع المحاور

نقطة التقاطع مع محور السينات (x-axis)

• تكون $y = 0$ دائمًا.
• نحسب $x$ من المعادلة.

نقطة التقاطع مع محور الصادات (y-axis)

• تكون $x = 0$ دائمًا.
• نحسب $y$ من المعادلة.

مثال توضيحي:

السؤال:
جد معادلة المماس للمنحني:

$$y = x^2 + 1$$

عند نقطة تقاطعه مع محور الصادات.

الحل:

1. نعلم أن على محور الصادات، $x = 0$.
2. نعوض:

   $$y = (0)^2 + 1 = 1$$

3. النقطة إذن هي (0, 1).

الميل:

• نشتق الدالة:

  $$y’ = 2x$$

• نعوض $x = 0$:

  $$y’ = 2(0) = 0$$

• إذًا الميل $m = 0$.

معادلة المماس:

نستخدم:

$$y – y_1 = m(x – x_1)$$

فتكون:

$$y – 1 = 0(x-0)$$

أي:

$$y = 1$$

ملاحظات هامة عن ميل العمود على المماس

لتذكير سريع:

• مقلوب الميل: نقلب الكسر أو العدد.
• عكس الإشارة: إذا كان الميل موجبًا يصبح سالبًا، وإذا كان سالبًا يصبح موجبًا.

أمثلة:

• إذا كان الميل $\frac{4}{3}$، يصبح ميل العمود $-\frac{3}{4}$.
• إذا كان الميل $5$، يصبح ميل العمود $-\frac{1}{5}$.

خلاصة الخطوات عند حل أي سؤال عن معادلة المماس أو العمودي

1. حدد النقطة (عبر التعويض أو معلومات السؤال).
2. استخرج الميل عبر الاشتقاق والتعويض.
3. ضع النقطة والميل في قانون معادلة المستقيم.
4. إذا طُلب العمودي، اقلب الميل وغيّر إشارته، ثم عوض مجددًا.

واجب للطلاب

السؤال:
جد معادلة المماس والعمودي على المماس للمنحني:

$$y = x^2 + x + 1$$

عند نقطة تقاطعه مع محور الصادات.