التوافيق وحل المسائل المرتبطة بها – للصف السادس الأدبي

أولاً: ملاحظات أساسية لفهم التوافيق

1. التمييز بين التوافيق والتباديل
   التوافيق تختلف عن التباديل في أنها لا تهتم بالترتيب، بل تهتم بالاختيار فقط، أي أن التكرار غير مسموح.
2. أمثلة توضيحية من الحياة: تُستخدم التوافيق في المسائل التي تتضمن:
   • اختيار أشكال هندسية (مثل: مستقيم، مربع، مثلث).
   • أسئلة الاختيار من متعدد في الامتحانات.
   • عدد المجموعات الثنائية أو الثلاثية من بين مجموعة عناصر.
   • حالات التكرار أو السحب من البطاقات.
   • وجود أدوات أو أشخاص (مثل أسطوانتين أو عمال).

ثانياً: مسائل محلولة على التوافيق

س/1

إذا كان لديك مستقيم يحتوي على 6 نقاط، فكم عدد المثلثات التي يمكن رسمها؟
الجواب:
لا يمكن تكوين مثلثات لأن كل النقاط تقع على مستقيم واحد.
السبب: المثلث يحتاج إلى ثلاث نقاط غير على استقامة واحدة.

س/2

كم مربع يمكن أن نرسمه إذا كان لدينا 10 نقاط ولا تتقاطع ثلاث نقاط منها على استقامة واحدة؟
الجواب:
هذه مسألة تعتمد على التوافيق، ولكن لتكوين مربع نحتاج إلى اختيار 4 نقاط.
إذاً نستخدم التوافيق:

$$C(10,4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} = 210 \text{ طريقة}$$

س/3

ما عدد القطع المستقيمة التي يمكن أن تُرسم بين رؤوس مضلع سداسي؟
الجواب:
كل قطعتين من الرؤوس يمكن أن توصّلا بخط مستقيم.
إذاً نستخدم التوافيق:

$$C(6,2) = \frac{6!}{2!(6-2)!} = 15 \text{ قطعة مستقيمة}$$

س/4

ما عدد طرق اختيار 3 أشخاص من بين 7 أشخاص ليصبحوا متنافسين؟
الجواب:
نستخدم التوافيق لأن الترتيب لا يهم:

$$C(7,3) = \frac{7!}{3!(7-3)!} = 35 \text{ طريقة}$$

س/5

إذا كان لديك 8 أسئلة والمطلوب الإجابة عن 6 فقط، فكم طريقة يمكن فيها اختيار الأسئلة؟
الجواب:

$$C(8,6) = \frac{8!}{6!(8-6)!} = 28 \text{ طريقة}$$

س/6

جد عدد المجموعات الثنائية التي يمكن تكوينها من مجموعة الحروف التالية:
{ a, b, c, d, e }
الجواب:
نستخدم:

$$C(5,2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 \text{ مجموعات}$$

س/7

إذا كانت عدد أسئلة مادة الرياضيات هو (8) والمطلوب الإجابة على (6) منها بشرط أن تتضمن الإجابة 4 أسئلة من القسم الإجباري، فكم طريقة ممكنة للإجابة؟
الجواب:

• نختار 4 أسئلة من القسم الإجباري (المفروض أن تكون مفروزة مسبقاً):

$$C(4,4) = 1$$

• نختار 2 من البقية (8 – 4 = 4):

$$C(4,2) = 6$$

• إذن:

$$1 × 6 = 6 \text{ طرق}$$

س/8

إذا كان عدد أسئلة امتحان هو (15)، والمطلوب الإجابة عن (7) أسئلة منها فقط، شريطة أن تكون 4 منها من القسم الأول، فكم طريقة ممكنة؟
الجواب:

• نختار 4 من القسم الأول:

$$C(5,4) = 5$$

• نختار 3 من القسم الثاني (عدد أسئلته = 10):

$$C(10,3) = 120$$

• إذن عدد الطرق:

$$5 × 120 = 600 \text{ طريقة}$$

ثالثاً: ملاحظات ختامية على استخدام التوافيق

• التوافيق مفيدة عند التعامل مع أسئلة تتعلق بالاختيار بدون ترتيب، كما في المسائل الهندسية أو اختيار الأشخاص.
• من المهم التمييز بين المسائل التي تستخدم التوافيق والمسائل التي تحتاج إلى التباديل، حيث تؤثر على طريقة الحل وعدد الطرق.
• معظم أسئلة التوافيق تتضمن عبارات مثل: “اختيار”، “تكوين مجموعات”، “بدون ترتيب”، “أسئلة يتم اختيارها”، إلخ.

الكلمات المفتاحية:

توافيق، رياضيات السادس الأدبي، مسائل محلولة، أسئلة اختيار، مضلع سداسي، مجموعات ثنائية، قطع مستقيمة، مسائل بدون ترتيب، رياضيات الإعدادية، طرق حل التوافيق، عدد الطرق، اختيار أسئلة، مستقيم واحد، مسائل رياضية، توافيق هندسية، عدد المربعات.