مبرهنة ذات الحدين – جد الحد الاوسط والاوسطين

أولاً: قواعد الأسس – الضرب والقسمة والرفع لقوة

1- قاعدة الضرب: عند ضرب الأسس نجمع الأسس (إذا كان الأساس نفسه)

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

أمثلة:

• $x^2 \cdot x^3 = x^{5}$
• $y^3 \cdot y = y^4$
• $a^2 \cdot a = a^3$

2- قاعدة القسمة: عند القسمة نطرح الأسس (إذا كان الأساس نفسه)

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

مثال:

• $\frac{x^5}{x^2} = x^{3}$

3- قاعدة الرفع لقوة: عند رفع القوة لقوة نضرب الأسس

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

أمثلة:

• $(x^2)^3 = x^6$
• $(a^3)^4 = a^{12}$
• $(y^{-1})^5 = y^{-5}$

ثانياً: إشارات القوى الزوجية والفردية

– إذا كان الأساس سالبًا والأس مرفوعًا لعدد زوجي، فإن الناتج يكون موجبًا.

أمثلة:

• $(-2)^2 = 4$
• $(-3)^2 = 9$
• $(-1)^6 = 1$
• $(-3)^4 = 81$

– إذا كان الأساس سالبًا والأس فرديًا، يبقى الناتج سالبًا.

أمثلة:

• $(-2)^3 = -8$
• $(-1)^5 = -1$
• $(-3)^3 = -27$

ثالثاً: مفكوك ذات الحدين (Newton’s Binomial Expansion)

قانون الحد العام في مفكوك ذات الحدين:

للتعبير عن الحد $r$ من المفكوك:

$$P_r = C_{n,r-1} \cdot x^{n-(r-1)} \cdot y^{r-1}$$

حيث:

• $C_{n,r-1}$: التوافيق
• $x$: الحد الأول
• $y$: الحد الثاني
• $n$: الأس الكلي
• $r$: رقم الحد

رابعاً: أمثلة على استخراج حد معين في مفكوك ذات الحدين

1- مثال: جد الحد الخامس في مفكوك (x – 3y)^8

نستخدم القانون:

$$P_5 = C_{8,4} \cdot x^{8-4} \cdot (-3y)^4$$ $$= 70 \cdot x^4 \cdot 81y^4 = 5670 x^4 y^4$$

2- مثال: جد الحد السادس في مفكوك

$$\left( \frac{x^2}{2} – \frac{x}{3} \right)^8$$

نطبق القانون ونراعي تحويل الحد الثاني إلى صورة يسهل التعامل معها، مع ضرب القوى والتحويل إلى صورة بسيطة.

خامساً: إيجاد الحد الأوسط

إذا كان الأس عددًا زوجيًا (مثلاً $n = 8$)، فالحد الأوسط يكون هو الحد رقم:

$$\frac{n}{2} + 1 = 5$$

أما إذا كان $n$ عددًا فرديًا (مثلاً $n = 7$)، فإن المفكوك يحتوي على حدين وسطين:

• الأول: $\frac{n+1}{2} = 4$
• الثاني: $\frac{n+1}{2} + 1 = 5$

مثال: جد الحدين الأوسطين في مفكوك

$$\left( \frac{3a}{2} – \frac{2}{3a} \right)^7$$

نحسب الحد الرابع والخامس من المفكوك باستخدام قانون الحد العام السابق.

ملخص القوانين:

1. الضرب: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
2. القسمة: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
3. الرفع لقوة: $(a^m)^n = a^{mn}$
4. القوى الزوجية تعطي ناتج موجب
5. القوى الفردية تعطي ناتج سالب إذا كان الأساس سالبًا
6. قانون الحد العام في مفكوك ذات الحدين
7. إيجاد الحد الأوسط في المفكوك