مبرهنة ذات الحدين – جد مفكوك ذات الحدين (التوافيق) – للصف السادس الأدبي

أولاً: تعريف المفكوك ذات الحدين

جداء مفكوك ذات الحدين هو الطريقة التي نستخدم فيها التوافيق لتوسيع أو تبسيط تعبير رياضي على الشكل:

$$(a + b)^n$$

حيث يمكننا استخدام قانون نيوتن في المفكوكات وهو:

$$(a + b)^n = \sum_{r=0}^{n} C(n, r) \cdot a^{n-r} \cdot b^r$$

ثانياً: خطوات حساب المفكوك باستخدام التوافيق

1. عدد الحدود في المفكوك

عدد حدود المفكوك دائمًا يكون:

$$n + 1$$

إذا كان الأس $n = 2$، فإن عدد الحدود = $2 + 1 = 3$.

2. كل حد في المفكوك يحتوي على:

$$C(n, r)$$

حيث:

• $n$ هو نفس أس القوس.
• $r$ يبدأ من $0$ ويصعد إلى $n$.

3. التوافيق:

نعوّض حاصل ضرب الحدين في كل حد من المفكوك بالتوافيق:

$$C(n, r) \cdot a^{n – r} \cdot b^r$$

4. أسس الحدود:

• أس الحد الأول يبدأ من $n$ وينزل إلى الصفر.
• أس الحد الثاني يبدأ من $0$ ويصعد إلى $n$.

ثالثاً: أمثلة توضيحية

المثال 1:

فك مفكوك:

$$(x + y)^2$$

عدد الحدود:

$$n + 1 = 2 + 1 = 3$$

نكتب المفكوك بالشكل التالي:

$$= C(2,0) \cdot x^2 \cdot y^0 + C(2,1) \cdot x^1 \cdot y^1 + C(2,2) \cdot x^0 \cdot y^2$$

نحسب التوافيق:

$$= 1 \cdot x^2 + 2 \cdot xy + 1 \cdot y^2$$

الناتج النهائي:

$$x^2 + 2xy + y^2$$

المثال 2:

فك مفكوك:

$$(2a + 1)^3$$

عدد الحدود:

$$n + 1 = 3 + 1 = 4$$

نبدأ من:

$$= C(3,0)(2a)^3(1)^0 + C(3,1)(2a)^2(1)^1 + C(3,2)(2a)^1(1)^2 + C(3,3)(2a)^0(1)^3$$

نحسب التوافيق ونجري العمليات:

$$= 1 \cdot 8a^3 + 3 \cdot 4a^2 + 3 \cdot 2a + 1$$

الناتج:

$$8a^3 + 12a^2 + 6a + 1$$

المثال 3:

فك مفكوك:

$$(x – y)^3$$

هنا نتبع نفس الخطوات، مع مراعاة إشارة السالب:

$$= C(3,0)x^3 + C(3,1)x^2(-y) + C(3,2)x(-y)^2 + C(3,3)(-y)^3$$ $$= x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3$$

رابعاً: سؤال تطبيقي مهم

أوجد ناتج:

$$(101)^3$$

باستخدام مفكوك ذات الحدين.

نكتب:

$$(100 + 1)^3$$

نستخدم المفكوك:

$$= C(3,0) \cdot 100^3 + C(3,1) \cdot 100^2 \cdot 1 + C(3,2) \cdot 100 \cdot 1^2 + C(3,3) \cdot 1^3$$ $$= 1 \cdot 1000000 + 3 \cdot 10000 + 3 \cdot 100 + 1$$ $$= 1000000 + 30000 + 300 + 1 = 1030301$$

خامساً: تمارين تدريبية

أ) فك مفكوك:

$$(3a + 1)^4$$

ب) فك مفكوك:

$$(3x^2 + 2y)^3$$

جـ) فك مفكوك:

$$\left(2x – \frac{1}{2x}\right)^6$$

نصيحة: استخدم التوافيق $C(n, r)$، وطبق القاعدة العامة لكل حد.

سادساً: ملاحظات مهمة

1. يمكن استخدام التوافيق بشكل مباشر من الآلة الحاسبة من خلال زر $nCr$.
2. في حالة وجود سالب داخل القوس، يجب الانتباه لتغيير الإشارات بالتناوب.
3. كل مفكوك يحتوي على $n + 1$ حدًا.
4. التوافيق تبدأ من $C(n, 0)$ إلى $C(n, n)$.

🔹 السؤال (أ): فك مفكوك

$$(3a + 1)^4$$

الحل:

عدد الحدود = $4 + 1 = 5$
نطبق القانون:

$$(3a + 1)^4 = \sum_{r=0}^{4} C(4, r) \cdot (3a)^{4 – r} \cdot (1)^r$$

نحسب الحدود:

1. $C(4,0)(3a)^4(1)^0 = 1 \cdot 81a^4 = 81a^4$
2. $C(4,1)(3a)^3(1)^1 = 4 \cdot 27a^3 = 108a^3$
3. $C(4,2)(3a)^2(1)^2 = 6 \cdot 9a^2 = 54a^2$
4. $C(4,3)(3a)^1(1)^3 = 4 \cdot 3a = 12a$
5. $C(4,4)(3a)^0(1)^4 = 1 \cdot 1 = 1$

الناتج النهائي:

$$81a^4 + 108a^3 + 54a^2 + 12a + 1$$

🔹 السؤال (ب): فك مفكوك

$$(3x^2 + 2y)^3$$

الحل:

عدد الحدود = $3 + 1 = 4$

نطبق:

$$= \sum_{r=0}^{3} C(3, r) \cdot (3x^2)^{3 – r} \cdot (2y)^r$$

نحسب كل حد:

1. $C(3,0)(3x^2)^3(2y)^0 = 1 \cdot 27x^6 = 27x^6$
2. $C(3,1)(3x^2)^2(2y)^1 = 3 \cdot 9x^4 \cdot 2y = 54x^4y$
3. $C(3,2)(3x^2)^1(2y)^2 = 3 \cdot 3x^2 \cdot 4y^2 = 36x^2y^2$
4. $C(3,3)(3x^2)^0(2y)^3 = 1 \cdot 8y^3 = 8y^3$

الناتج النهائي:

$$27x^6 + 54x^4y + 36x^2y^2 + 8y^3$$

🔹 السؤال (جـ): فك مفكوك

$$\left(2x – \frac{1}{2x}\right)^6$$

الحل:

الحد الأول = $a = 2x$
الحد الثاني = $b = -\frac{1}{2x}$
الأس = $n = 6$

عدد الحدود = $7$

نطبق:

$$= \sum_{r=0}^{6} C(6, r) \cdot (2x)^{6 – r} \cdot \left(-\frac{1}{2x}\right)^r$$

نحسب بعض الحدود المهمة يدويًا:

1. $r = 0$:

$$C(6,0)(2x)^6\left(-\frac{1}{2x}\right)^0 = 1 \cdot 64x^6 = 64x^6$$

2. $r = 1$:

$$C(6,1)(2x)^5\left(-\frac{1}{2x}\right)^1 = 6 \cdot 32x^5 \cdot \left(-\frac{1}{2x}\right) = -96x^4$$

3. $r = 2$:

$$C(6,2)(2x)^4\left(-\frac{1}{2x}\right)^2 = 15 \cdot 16x^4 \cdot \frac{1}{4x^2} = 60x^2$$

4. $r = 3$:

$$C(6,3)(2x)^3\left(-\frac{1}{2x}\right)^3 = 20 \cdot 8x^3 \cdot \left(-\frac{1}{8x^3}\right) = -20$$

5. $r = 4$:

$$C(6,4)(2x)^2\left(-\frac{1}{2x}\right)^4 = 15 \cdot 4x^2 \cdot \frac{1}{16x^4} = \frac{15}{4x^2}$$

6. $r = 5$:

$$C(6,5)(2x)^1\left(-\frac{1}{2x}\right)^5 = 6 \cdot 2x \cdot \left(-\frac{1}{32x^5}\right) = -\frac{12}{32x^4} = -\frac{3}{8x^4}$$

7. $r = 6$:

$$C(6,6)(2x)^0\left(-\frac{1}{2x}\right)^6 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{64x^6} = \frac{1}{64x^6}$$

الناتج النهائي الكامل:

$$64x^6 – 96x^4 + 60x^2 – 20 + \frac{15}{4x^2} – \frac{3}{8x^4} + \frac{1}{64x^6}$$