أولاً: الغاية

تعريف الغاية:

الغاية هي القيمة التي تقترب منها مخرجات دالة معينة عندما تقترب المدخلات (x) من قيمة معينة (a).

رمز الغاية:

يُرمز للغاية بالرمز:

$$\lim_{x \to a}$$

ويُقرأ: “نهاية الدالة عندما x تقترب من a”.

ملاحظة: كلمة دالة مرتبطة بالغاية لأن الغاية تتعلق بقيم الدوال.

ثانياً: خواص الغاية البسيطة

1. غاية العدد الثابت:
   

   غاية العدد = العدد نفسه.

   أي إذا كانت الدالة عددًا ثابتًا، فإن نهاية هذا العدد عند أي قيمة هي العدد نفسه.

   مثال 1:

   $$\lim_{x \to 2} 3 = 3$$هنا لأن الدالة هي عدد ثابت (3)، فإن غايتها هي نفسها 3 مهما كانت قيمة x.

ثالثاً: غاية الدالة الخطية (التعويض المباشر)

عندما تكون الدالة خطية أو بسيطة، نطبق التعويض المباشر:

• نحذف رمز الـ Lim.
• نعوض عن $x$ في الدالة مباشرةً.

خطوات التعويض المباشر:

1. حذف رمز النهاية (Lim).
2. التعويض المباشر عن $x$ بالقيمة المعطاة.

أمثلة على الغاية بالدوال الخطية:

مثال 2:

أوجد الغاية:

$$\lim_{x \to 2} (x+1)$$

الحل:

• نحذف رمز النهاية Lim.
• نعوض مكان $x$ بالعدد 2:

$$2 + 1 = 3$$

إذًا: الغاية تساوي 3.

مثال 3:

أوجد الغاية:

$$\lim_{x \to -2} (x^3 – 4x + 6)$$

الحل:

• نعوض مكان $x$ بـ -2:

$$(-2)^3 – 4(-2) + 6 = -8 + 8 + 6 = 6$$

إذًا: الغاية تساوي 6.

مثال 4:

أوجد الغاية:

$$\lim_{x \to 3} (x^2 – 2x + 5)$$

الحل:

• نعوض مكان $x$ بالعدد 3:

$$(3)^2 – 2(3) + 5 = 9 – 6 + 5 = 8$$

إذًا: الغاية تساوي 8.

رابعاً: غاية الدالة الكسرية

إذا كانت لدينا دالة كسرية من الشكل:

$$\lim_{x \to a} \frac{بسط}{مقام}$$

الحالة الأولى:

إذا عوضنا وظهر أن المقام لا يساوي صفر، فإننا ببساطة نعوض مباشرة.

خطوات الحل:

• نحذف رمز Lim.
• نعوض مكان $x$ بالقيمة المعطاة.
• إذا كان الناتج لا يوجد قسمة على صفر، نحسبه مباشرة.

أمثلة على الغاية للدوال الكسرية:

مثال 5:

أوجد الغاية:

$$\lim_{x \to 3} \frac{2x+3}{x}$$

الحل:

• نعوض:

$$\frac{2(3)+3}{3} = \frac{6+3}{3} = \frac{9}{3} = 3$$

إذًا: الغاية تساوي 3.

الحالة الثانية:

إذا عوضنا ووجدنا أن الناتج يؤدي إلى حالة “صفر/صفر”، يجب التعامل مع المسألة بطريقة أخرى (كالتحليل أو التبسيط).

مثال 6:

أوجد الغاية:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^3-27}{x-3}$$

الحل:

• إذا عوضنا مباشرةً:

$$\frac{3^3 – 27}{3-3} = \frac{0}{0}$$

وهي حالة غير مقبولة، إذًا يجب تحليل البسط:

نعلم أن:

$$x^3 – 27 = (x-3)(x^2+3x+9)$$

بالتبسيط نحذف العامل المشترك $x-3$ مع المقام:

تبقى لدينا:

$$\lim_{x \to 3} (x^2+3x+9)$$

نعوض الآن:

$$3^2 + 3(3) + 9 = 9 + 9 + 9 = 27$$

إذًا: الغاية تساوي 27.

مثال 7:

أوجد الغاية:

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2+x-12}{x-3}$$

الحل:

• التعويض المباشر يؤدي إلى صفر/صفر، إذًا نحلل البسط:

$$x^2+x-12 = (x+4)(x-3)$$

نلغي $x-3$ مع المقام:

تبقى لدينا:

$$\lim_{x \to 3} (x+4)$$

نعوض:

$$3+4 = 7$$

إذًا: الغاية تساوي 7.

الخلاصة:

• عند وجود عدد ثابت أو دالة بسيطة: نعوض مباشرةً.
• عند وجود كسر والمقام لا يساوي صفر بعد التعويض: نعوض مباشرةً.
• عند وجود كسر وينتج صفر/صفر: نحلل أو نبسط أولاً، ثم نعوض.

الكلمات المفتاحية:

الغاية في الرياضيات, الغاية والاستمرارية, نهاية الدالة, الغاية بالتعويض المباشر, تبسيط النهايات, حل مسائل النهايات, الغاية للدوال الكسرية, تحليل النهايات, رياضيات السادس العلمي, رياضيات السادس الأدبي, شرح النهايات, تمارين على الغاية, قوانين الغاية, طريقة التعويض المباشر, مسائل الغاية في الرياضيات, الغاية عند الاقتراب