شرح درس التكامل للصف السادس الأدبي

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته طلاب الصف السادس الأدبي.
اليوم نبدأ معكم شرح الفصل الرابع من مادة الرياضيات، وهو فصل التكامل. هذا الفصل هو آخر فصل في المنهج، وقد يبدو صعبًا قليلًا في البداية، ولكن مع التدريب والاهتمام ستجدونه بسيطًا وسلسًا.

تعريف التكامل ورمزه

قبل أن نتعلم كيفية التكامل، يجب أن نتعرف على رمز التكامل.
رمز التكامل يشبه الحرف (S) بالإنجليزية ولكنه ممدود بالشكل التالي: ∫
بعد هذا الرمز، يظهر حرف يمثل المتغير وغالبًا يكون x. أحيانًا قد ترى y أو أي حرف آخر حسب السؤال، ولكن أغلب المنهج يعتمد على التكامل بالنسبة لـ x.

معنى التكامل

عندما نكتب:

$$\int f(x) \, dx$$

فهذا يعني أننا نبحث عن تكامل الدالة f(x) بالنسبة للمتغير x.

أنواع التكامل

التكامل ينقسم إلى نوعين رئيسيين:

• تكامل غير محدد: لا توجد حدود رقمية (لا فترة بداية ولا نهاية).
• تكامل محدد: تُعطى فترة محددة مثل التكامل من 0 إلى 2.

يجب أولاً إتقان التكامل غير المحدد؛ لأنه أساس التكامل المحدد.

أساسيات التكامل

في التكامل غير المحدد، بعد إنهاء الحل دائمًا نضيف ثابت التكامل (C)، لأنه يمثل أي عدد ثابت يمكن أن يكون موجودًا مع الحل.

خطوات التكامل للدوال الخطية

التكامل الذي سنبدأ به هو تكامل الدوال الخطية، وهي الدوال التي:

• ليست كسريّة.
• ليست جذريّة.
• أمثلتها مثل: $x^2 + 4$ أو $x^3 + 2x – 4$.

القاعدة العامة لتكامل الدوال الخطية:

1. نحذف رمز التكامل والـ dx.
2. نزيد أس المتغير بمقدار 1.
3. نقسم على الأس الجديد.
4. إذا كان هناك عدد ثابت بدون متغير، نضربه مباشرة في المتغير.
5. نضيف دائمًا ثابت التكامل C في النهاية.

أمثلة على تكامل دالة خطية

تكامل عدد ثابت

مثال:

$$\int 3 \, dx$$

الحل:

• نحذف رمز التكامل والـ dx.
• نضرب العدد بالمتغير x.
• نضيف C.
• الناتج: $3x + C$

تكامل دالة تحتوي على متغير

مثال:

$$\int (x + 4) \, dx$$

الحل:

• $x$: نزيد الأس بمقدار 1 (من 1 إلى 2) ونقسم على 2:

  $$\frac{x^2}{2}$$

• العدد 4: نضربه بـx مباشرة:

  $$4x$$

• نضيف ثابت التكامل:

  $$\frac{x^2}{2} + 4x + C$$

التكامل عندما يكون المتغير في المقام

إذا وجدت متغيرًا في المقام مثل:

$$\int \frac{2}{x^3} \, dx$$

قبل التكامل:

• نصعد المتغير للبسط مع تغيير إشارة الأس:

  $$2x^{-3}$$

ثم نكامل كالمعتاد:

• نزيد الأس بمقدار 1: -3 + 1 = -2.
• نقسم على الأس الجديد:

  $$-x^{-2}$$

• نضيف C.

التكامل عندما يكون الأس كسرًا

إذا كان أس المتغير كسرًا مثل:

$$\int x^{\frac{3}{2}} \, dx$$

نتبع قاعدة:

✅ القاعدة:

• نحافظ على المقام كما هو.
• نجمع البسط والمقام.

الحل:

• $\frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$
• نضرب بالمقلوب:

  $$\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + C$$

التكامل للدوال الجذرية

عند مواجهة جذر، نحوله إلى صورة أسية قبل التكامل.
مثال:

$$\int \sqrt{x} \, dx$$

تحويل الجذر:

$$x^{\frac{1}{2}}$$

ثم نكامل:

• نزيد الأس 1:

  $$\frac{3}{2}$$

• نضرب بالمقلوب:

  $$\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C$$

أحيانًا نعيده إلى جذر كما يلي:

$$\frac{2}{3} \sqrt{x^3} + C$$

ملاحظات مهمة أثناء التكامل

• إذا كان المتغير في المقام، يجب تحويله إلى البسط مع تغيير إشارة الأس قبل التكامل.
• إذا كان هناك جذر، نحوله إلى دالة أسية قبل تطبيق خطوات التكامل.
• في التكامل غير المحدد لا ننسى دائمًا كتابة $+ C$ في النتيجة النهائية.

تدريبات على التكامل

لزيادة الفهم، يجب حل أكبر عدد ممكن من الأمثلة. من التمارين المطلوبة:

• تمارين (1)، (10)، (13) من صفحة 116 من الكتاب.

وسيتم لاحقًا توفير فيديوهات تصحيح لهذه التمارين إن شاء الله للتأكد من صحة الحلول.