الفصل الثالث – التفاضل (قواعد الاشتقاق) للصف السادس الأدبي

نعود إليكم لنكمل سلسلة شروحات مادة الرياضيات، بعد أن أنهينا شرح الفصل الأول والفصل الثاني. وصلنا اليوم إلى الفصل الثالث: التفاضل، وهو فصل مهم جدًا إذ يشكل حوالي 50 درجة في الامتحان الوزاري.
كل مواضيع التفاضل تعتمد على فهم قواعد الاشتقاق، لذلك ضروري أن نضبط هذه القواعد قبل التعمق في بقية الفصل.

رموز المشتقات

قبل دراسة قواعد الاشتقاق، علينا أن نتعرف على رموز المشتقات المستخدمة في الأسئلة:

🔴 ملاحظة: أغلب الأسئلة تطلب المشتقة الأولى أو الثانية فقط.

قواعد الاشتقاق الأساسية

لدينا سبع قواعد اشتقاق يجب أن نتقنها تمامًا. نشرحها هنا بالتفصيل مع أمثلة.

القاعدة الأولى: مشتقة الثابت

• التعريف: الثابت هو عدد فقط بدون حرف.
• القاعدة: مشتقة أي عدد ثابت تساوي صفر.

أمثلة:

• $y = 3$ → $y’ = 0$
• $y = \frac{1}{4}$ → $y’ = 0$
• $y = 10$ → $y’ = 0$

القاعدة الثانية: مشتقة القوة (أحوال القوة الثلاثة)

عند وجود عدد موجب:

• القاعدة: نضرب القوة بالعدد ثم نطرح واحدًا من القوة.

مثال:

• $y = x^5$ → $y’ = 5x^4$

عند وجود عدد سالب:

• القاعدة: نجمع القوة مع -1 (باعتبار الإشارة) ثم نضرب وننقص واحد.

مثال:

• $y = x^{-3}$ → $y’ = -3x^{-4}$

عند وجود كسر:

• القاعدة: نستخدم قاعدة: المقام نفسه، والبسط ناقص المقام.

مثال:

• $y = x^{\frac{5}{2}}$ →
  $y’ = \frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}$
• قاعدة التعامل مع الكسور:
  • المقام نفسه
  • البسط – المقام

القاعدة الثالثة: عدد مضروب في قوة

إذا كان لدينا عدد مضروب في $x$ مرفوع لقوة:

• القاعدة: نضرب العدد بالقوة ثم نطرح 1 من القوة.

مثال:

• $y = 4x^3$ →
  $y’ = 3 \times 4 x^{2} = 12x^2$
• $y = 5x^5$ →
  $y’ = 5 \times 5 x^{4} = 25x^4$

القاعدة الرابعة: كثيرات الحدود

عند وجود دالة كثيرة الحدود:

• نشتق كل حد على حدة باتباع القواعد السابقة.
• مجموع مشتقات الحدود = مشتقة الدالة.

مثال:

• $y = 2x^3 – 5x + 4$
• نشتق كل حد:
  • $2x^3$ → $6x^2$
  • $-5x$ → $-5$
  • $4$ → $0$

النتيجة: $y’ = 6x^2 – 5$

ملاحظات إضافية مهمة

• عند تحويل مقدار من المقام إلى البسط، نغير إشارة القوة.
• إذا كانت الدالة عبارة عن عدد مضروب بـ$x$ بدون قوة، مشتقتها تكون فقط معامل $x$.
• مشتقة $x$ وحده = 1.
• مشتقة عدد بدون $x$ = صفر.

أمثلة توضيحية:

• $y = 3x$ → $y’ = 3$
• $y = -x$ → $y’ = -1$
• $y = 7$ → $y’ = 0$

تطبيقات على القواعد السابقة

مثال 1:

جد المشتقة الأولى للدالة:
$y = 2x^3 + 4x^2 – 5x + 1$

الحل:

• $2x^3$ → $6x^2$
• $4x^2$ → $8x$
• $-5x$ → $-5$
• $1$ → $0$

الناتج: $y’ = 6x^2 + 8x – 5$

مثال 2:

جد المشتقة الثانية للدالة:
$y = 2x^3 – 5x$

الحل:

• أولاً: المشتقة الأولى
  • $2x^3$ → $6x^2$
  • $-5x$ → $-5$
• إذًا: $y’ = 6x^2 – 5$
• ثانيًا: المشتقة الثانية
  • $6x^2$ → $12x$
  • $-5$ → $0$

الناتج: $y” = 12x$

تنبيه للطلبة

لابد من فهم القواعد السبعة للاشتقاق جيدًا قبل الانتقال إلى موضوعات أخرى من الفصل الثالث، لأن كل المواضيع تعتمد عليها.

نصيحة:
أكثر من حل التمارين والأمثلة لأن التكرار يساعد على تثبيت الفهم.

الخاتمة

بهذا نكون قد أكملنا شرح الجزء الأول من قواعد الاشتقاق في التفاضل للصف السادس الأدبي.
انتظرونا في المحاضرة القادمة لاستكمال بقية القواعد والتمارين المهمة.
لا تنسوا مشاركة القناة مع أصدقائكم والانضمام إلى قناتنا على التليجرام للاستفادة من الامتحانات والأسئلة الوزارية المتكررة.

في أمان الله 🌸