النقط الحرجة والنهايات العظمى والصغرى – للصف السادس الأدبي

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته، طلاب الصف السادس الأدبي. نواصل شرح الفصل الثالث مع محاضرة رقم 10 من موضوع النقط الحرجة والنهايات العظمى والصغرى.
ملاحظة مهمة: قبل متابعة هذه المحاضرة، يجب عليك مراجعة محاضرة رقم 9 التي شرحنا فيها حالات استخراج نقطة حرجة واحدة.

ما الجديد في هذه المحاضرة؟

اليوم نشرح الحالات التي:

• تنتج قيمتين مختلفتين لـ $x$، أي نقطتين حرِجتين.
• وأيضًا نشرح حالة ظهور ثلاث قيم لـ $x$، مما ينتج ثلاث نقاط حرجة.

تعريف النقطة الحرجة:

النقطة الحرجة: هي نقطة $(x, y)$ نتحصل عليها عندما تكون المشتقة الأولى مساوية للصفر.

خطوات إيجاد النقاط الحرجة:

1. اشتق الدالة مرة واحدة للحصول على المشتقة الأولى.
2. ساوِ المشتقة الأولى بالصفر، واستخرج قيم $x$.
3. لكل قيمة $x$، عوضها بالدالة الأصلية لإيجاد قيمة $y$.
4. بذلك تحصل على النقاط الحرجة $(x, y)$.

مثال 1: دالة تنتج قيمتين لـ $x$

السؤال: جد النقط الحرجة والنهايات العظمى والصغرى للدالة:

$$f(x) = x^3 – 3x + 2$$

الحل:

1. نشتق الدالة:

   $$f'(x) = 3x^2 – 3$$

2. نساوي المشتقة بالصفر:

   $$3x^2 – 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$

3. نعوض كل قيمة في الدالة الأصلية:
   • عندما $x = -1$:

     $$f(-1) = (-1)^3 – 3(-1) + 2 = 4$$النقطة: $(-1, 4)$

   • عندما $x = 1$:

     $$f(1) = (1)^3 – 3(1) + 2 = 0$$النقطة: $(1, 0)$

4. تحديد نوع النهايات:
   • باستخدام خط الأعداد واختبار الإشارات:
     • قبل $-1$ المشتقة موجبة.
     • بين $-1$ و$1$ المشتقة سالبة.
     • بعد $1$ المشتقة موجبة.
   • إذن:
     • النقطة $(-1, 4)$ تمثل نهاية عظمى محلية.
     • النقطة $(1, 0)$ تمثل نهاية صغرى محلية.

ملاحظة مهمة للاختبار السريع:

• إذا كانت دالة الاختبار تحتوي على أعلى قوة $x^2$ وكان معامل $x^2$ موجبًا:
  • فإن أطراف خط الأعداد موجبة، والمنتصف سالب.
• أما إذا كان معامل $x^2$ سالبًا:
  • فإن الأطراف سالبة، والمنتصف موجب.

مثال 2: دالة أخرى بقيمتين لـ $x$

السؤال: جد النقاط الحرجة والنهايات العظمى والصغرى للدالة:

$$f(x) = 2 + 6x – 2x^3$$

الحل:

1. نشتق الدالة:

   $$f'(x) = 6 – 6x^2$$

2. نساوي المشتقة بالصفر:

   $$6 – 6x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1$$

3. نحسب $y$:
   • $x = -1$:

     $$f(-1) = 2 + 6(-1) – 2(-1)^3 = -2$$النقطة: $(-1, -2)$

   • $x = 1$:

     $$f(1) = 2 + 6(1) – 2(1)^3 = 6$$النقطة: $(1, 6)$

4. تحديد نوع النهايات:
   • من خلال خط الأعداد:
     • قبل $-1$: تناقص.
     • بين $-1$ و$1$: تزايد.
     • بعد $1$: تناقص.
   • إذن:
     • $(-1, -2)$ نهاية صغرى محلية.
     • $(1, 6)$ نهاية عظمى محلية.

مثال 3: دالة تنتج ثلاث قيم لـ $x$

السؤال: جد النقط الحرجة والنهايات العظمى والصغرى للدالة:

$$f(x) = x^3 – 3x^2 – 9x + 7$$

الحل:

1. الاشتقاق:

   $$f'(x) = 3x^2 – 6x – 9$$

2. نساوي المشتقة بالصفر:
   • نقسم المعادلة على 3:

     $$x^2 – 2x – 3 = 0$$

   • بالتحليل:

     $$(x – 3)(x + 1) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \quad \text{أو} \quad x = -1$$

3. نحسب $y$ لكل قيمة:
   • $x = -1$:

     $$f(-1) = 12$$

   • $x = 3$:

     $$f(3) = -20$$

4. تحليل النهايات:
   • النقطة $(-1, 12)$ تمثل نهاية عظمى محلية.
   • النقطة $(3, -20)$ تمثل نهاية صغرى محلية.

نصيحة للطالب:

• في حالة وجود دالة تحتوي على $x^3$ أو أس أعلى من 2، لا تعتمد على إشارة المعامل فقط، بل عوض بقيم مثل 10 أو -10 أو 1 أو -1.
• إذا كنت تختبر منطقة بين عددين بدون أعداد صحيحة، عوض بكسر مثل $\frac{1}{2}$ أو $-\frac{1}{2}$.

الواجب

حل أسئلة تمارين 3-4 صفحة 91، مع الالتزام بنفس الخطوات التي شرحناها اليوم.