حل بقية تمارين الاستمرارية – رياضيات الصف السادس الأدبي [2-2] صفحة 58

نكمل معكم اليوم حل الأسئلة السادسة والسابعة والثامنة الخاصة بموضوع الاستمرارية.

السؤال السادس

نص السؤال:

لتكن الدالة:

$$f(x) = \begin{cases} 1 – 2x & \text{لـ } x \leq 2 \\ 1 – x^2 & \text{لـ } x > 2 \end{cases}$$أثبت أن $f$ مستمرة عند $x = 2$.

الحل:

عندما يُطلب إثبات الاستمرارية، نمر دائمًا بثلاث خطوات أساسية:

1. التحقق من أن الدالة معرفة عند النقطة.
2. التحقق من وجود النهاية (من اليمين ومن اليسار).
3. التحقق من أن قيمة الدالة تساوي قيمة النهاية.

الخطوات:

أولًا: الدالة معرفة عند $x = 2$
نعوض $x = 2$ في الدالة التي تحتوي على المساواة (القسم الأول $x \leq 2$):

$$f(2) = 1 – 2(2) = 1 – 4 = -3$$

ثانيًا: حساب النهاية من اليمين ومن اليسار

• من اليمين (باستخدام $1 – x^2$):

  $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1 – (2)^2 = 1 – 4 = -3$$

• من اليسار (باستخدام $1 – 2x$):

  $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1 – 2(2) = 1 – 4 = -3$$

ثالثًا: مقارنة القيم
بما أن:

$$f(2) = \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = -3$$

إذن:

الدالة مستمرة عند $x = 2$.

السؤال السابع

نص السؤال:

لتكن الدالة:

$$f(x) = \begin{cases} 1 – 3x & \text{لـ } x < 1 \\ 3x^2 + 1 & \text{لـ } x > 1 \end{cases}$$جد قيمة $a$ بحيث تكون $f(x)$ مستمرة عند $x = 1$.

الحل:

ملاحظة مهمة:
عندما يُخبرنا في السؤال أن الدالة مستمرة، فهذا يعني أن النهاية موجودة ويجب أن تطابق قيمة الدالة.

الخطوات:

أولًا: بما أن الدالة مستمرة عند $x=1$
فإن:

$$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x)$$

حساب النهاية من اليسار:

$$\lim_{x \to 1^-} (1 – 3x) = 1 – 3(1) = -2$$

حساب النهاية من اليمين: الدالة من جهة اليمين هي:

$$3x^2 + a$$

إذًا نحسب:

$$\lim_{x \to 1^+} (3(1)^2 + a) = 3 + a$$

بما أن:

$$-2 = 3 + a$$

نحل المعادلة:

$$a = -2 – 3 = -5$$

النتيجة:

قيمة $a$ المطلوبة لكي تكون الدالة مستمرة عند $x = 1$ هي $\boxed{-5}$.

السؤال الثامن

نص السؤال:

لتكن الدالة:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + a & \text{لـ } x > -1 \\ 2x + b & \text{لـ } x < -1 \end{cases}$$جد قيمتي $a$ و$b$ بحيث تكون الدالة مستمرة عند $x = -1$.

الحل:

كما تعلمنا:

• لكي تكون الدالة مستمرة، يجب أن تكون النهاية موجودة، أي:

$$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^+} f(x)$$

الخطوات:

حساب النهاية من اليمين:
باستخدام الدالة $x^2 + a$:

$$\lim_{x \to -1^+} (x^2 + a) = (-1)^2 + a = 1 + a$$

حساب النهاية من اليسار:
باستخدام الدالة $2x + b$:

$$\lim_{x \to -1^-} (2x + b) = 2(-1) + b = -2 + b$$

بما أن الدالة مستمرة:

$$1 + a = -2 + b$$

معلومة إضافية:
يُعطى بالسؤال معلومة أخرى أن:

$$f(-1) = 7$$

نعوض $x = -1$ في الدالة المناسبة:

$$f(-1) = 2(-1) + b = -2 + b = 7$$

نحل المعادلة:

$$b = 9$$

تعويض قيمة $b$ لإيجاد $a$:

$$1 + a = -2 + 9$$ $$1 + a = 7$$ $$a = 6$$

النتيجة:

إذن قيمتا $a$ و$b$ هما:
$\boxed{a = 6}$ و$\boxed{b = 9}$.

خلاصة عامة

خلال حل هذه الأسئلة تعلمنا أن:

• التأكد من وجود الدالة عند النقطة شرط أساسي.
• يجب حساب النهايتين اليمنى واليسرى ومطابقتهما معًا.
• في بعض الحالات تُعطى معادلات إضافية لمساعدتك على إيجاد القيم المجهولة.

✨ تذكر دائمًا مراجعة قناة التليجرام للتأكد من فهمك الكامل للمواضيع وحل المزيد من التمارين والاختبارات اليومية!