إيجاد الثوابت في النهايات (محاضرة 11 – الفصل الثالث للصف السادس الأدبي)

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته طلاب الصف السادس الأدبي.
في هذه المحاضرة، سنتناول موضوع إيجاد الثوابت في النهايات بشكل تفصيلي، مع شرح الخطوات بالكامل، بالإضافة إلى أمثلة تدريبية وحل أسئلة، لنضمن الفهم الكامل لهذا الدرس المهم.

ما المقصود بإيجاد الثوابت في النهايات؟

في بعض المسائل يُعطى لك دالة تحوي مجاهيل (ثوابت مثل $A$ أو $B$)، ويُطلب منك إيجاد قيمتها بحيث تحقق شروطًا مثل وجود نهاية محلية أو نقطة حرجة معينة.

ملاحظات مهمة قبل البدء:

• غالبًا تحتوي الدالة على مجهولين مثل $A$ و$B$.
• عند ذكر “نقطة معلومة” فهي تتكون من إحداثيين $(x, y)$ وتُعوض في الدالة الأصلية.
• عند ذكر “نقطة حرجة” أو “نهاية محلية” يتم اتباع ثلاث خطوات:
  1. الاشتقاق.
  2. تصفير المشتقة.
  3. تعويض قيمة $x$.

مراجعة طريقة حل معادلتين بالحذف

قبل الدخول في تفاصيل الحلول، من المهم أن نتذكر طريقة حل معادلتين بمجهولين باستخدام الحذف:

• إذا كان لديك:
  • $3A + B = 1$ (معادلة 1)
  • $2A – B = 4$ (معادلة 2)
• نلاحظ أن $B$ و$-B$ متعاكستان بالإشارة ⇒ نطبق الحذف:
  • نجمع المعادلتين:
    • $3A + 2A = 5A$
    • $1 + 4 = 5$
  • إذن: $5A = 5$ ⇒ $A = 1$.
• نعوض قيمة $A$ في إحدى المعادلتين لنجد $B$.

مثال تدريبي آخر:

• إذا كان لديك:
  • $5A + 2B = 4$ (معادلة 1)
  • $2A + B = 1$ (معادلة 2)

نحتاج لجعل معاملات $B$ متساوية مع اختلاف الإشارة:

• نضرب المعادلة الثانية في $-2$، ثم نجمع:
  • نحصل على $A = 2$، ثم نعوض لإيجاد $B = -3$.

أمثلة محلولة عن إيجاد الثوابت في النهايات

السؤال الأول:

إذا كانت $f(x) = A x^3 + Bx$، وكانت النهاية المحلية عند النقطة (1, -2)، أوجد $A$ و$B$ وما نوع النهاية؟

خطوات الحل:

1. تعويض النقطة في الدالة الأصلية:
   • $f(1) = -2$
   • $A(1)^3 + B(1) = -2$
   • $A + B = -2$ (معادلة 1)
2. مشتقة الدالة:
   • $f'(x) = 3A x^2 + B$
3. تصفير المشتقة وتعويض $x = 1$:
   • $3A(1)^2 + B = 0$
   • $3A + B = 0$ (معادلة 2)
4. حل المعادلتين بالحذف:
   • من المعادلة الثانية: $B = -3A$
   • نعوض في المعادلة الأولى:
     • $A – 3A = -2$
     • $-2A = -2$ ⇒ $A = 1$
   • إذن $B = -3(1) = -3$
5. كتابة الدالة الجديدة:
   • $f(x) = x^3 – 3x$
6. تحديد نوع النهاية:
   • نشتق مجددًا: $f'(x) = 3x^2 – 3$
   • نصفر المشتقة:
     • $3x^2 – 3 = 0$ ⇒ $x = \pm1$
   • نختبر الإشارات حول $x = 1$:
     • تناقص ثم تزايد ⇒ نهاية صغرى.
   • الجواب: النقطة (1, -2) تمثل نهاية صغرى محلية.

السؤال الثاني:

إذا كانت النقطة (2, 6) نقطة حرجة لمنحنى الدالة $f(x) = A – (x – B)^4$، أوجد $A$ و$B$ وحدد نوع النقطة الحرجة.

خطوات الحل:

1. تعويض النقطة في الدالة الأصلية:
   • $f(2) = 6$
   • $A – (2 – B)^4 = 6$
2. مشتقة الدالة:
   • $f'(x) = -4(x – B)^3$
3. تصفير المشتقة وتعويض $x = 2$:
   • $-4(2 – B)^3 = 0$
   • إذن $2 – B = 0$ ⇒ $B = 2$
4. تعويض قيمة $B$ لإيجاد $A$:
   • $A – (2 – 2)^4 = 6$
   • $A = 6$
5. كتابة الدالة الجديدة:
   • $f(x) = 6 – (x – 2)^4$
6. تحديد نوع النقطة الحرجة:
   • نشتق: $f'(x) = -4(x – 2)^3$
   • اختبار الإشارات:
     • تناقص ثم تزايد ⇒ نهاية عظمى.
   • الجواب: النقطة (2, 6) تمثل نهاية عظمى محلية.

السؤال الثالث:

إذا كانت الدالة $f(x) = x^3 + A x + 5$ وتمتلك نهاية محلية عند $x = 1$، جد قيمة $A$ ونوع النهاية.

خطوات الحل:

1. مشتقة الدالة:
   • $f'(x) = 3x^2 + A$
2. تصفير المشتقة وتعويض $x = 1$:
   • $3(1)^2 + A = 0$
   • $3 + A = 0$ ⇒ $A = -3$
3. كتابة الدالة الجديدة:
   • $f(x) = x^3 – 3x + 5$
4. تحديد نوع النهاية:
   • نشتق مجددًا: $f'(x) = 3x^2 – 3$
   • نصفر المشتقة:
     • $x = \pm1$
   • نختبر الإشارات:
     • عند $x = 1$ تكون الإشارة سالبة ثم موجبة ⇒ نهاية صغرى.

الواجبات للتدريب:

• سؤال 1: إذا علمت أن النقطة (2,1) نقطة نهاية صغرى للدالة $f(x)$، جد قيم $A$ و$B$.
• سؤال 2: إذا كانت النقطة (1,4) نقطة حرجة للدالة $3 + Ax + Bx^2$، جد قيم $A$ و$B$، وما نوع النقطة الحرجة؟