حل تمارين (4-3) صفحة (91) – إيجاد النقط الحرجة والنهايات العظمى والصغرى

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته، طلاب الصف السادس الأدبي، إن شاء الله تكونون بخير.
في محاضرتنا اليوم، سنقوم بحل تمارين (4-3) صفحة (91) من كتاب الرياضيات. هذه التمارين تركز على إيجاد النهايات العظمى والصغرى والنقاط الحرجة للدوال.
تتضمن التمارين سبعة أسئلة، بالإضافة إلى سؤالين حول إيجاد الثوابت، وقد تم إعطاؤها سابقًا كواجب ضمن محاضرتي رقم 9 ورقم 10. لذا من المهم أن تكون قد أتممت مراجعة تلك المحاضرتين لفهم الموضوع بشكل كامل.

خطوات حل مسائل إيجاد النهايات العظمى والصغرى والنقاط الحرجة

لحل هذا النوع من الأسئلة، نتبع الخطوات التالية:

1. اشتقاق الدالة مرة واحدة للحصول على المشتقة الأولى (دالة الاختبار).
2. مساواة المشتقة بالصفر لحساب قيم $x$.
3. إيجاد النقاط الحرجة من خلال التعويض في الدالة الأصلية.
4. اختبار الإشارة على خط الأعداد لتحديد التزايد والتناقص.
5. تحديد نوع النهاية (عظمى أو صغرى).
6. تحديد مناطق التزايد ومناطق التناقص.

حل التمرينات بالتفصيل

التمرين الأول:

معادلة الدالة:

$$f(x) = x^4 – 1$$

الحل:

• نشتق الدالة:

$$f'(x) = 4x^3$$

• نصفر المشتقة:

$$4x^3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$$

• نعوض قيمة $x = 0$ في الدالة الأصلية:

$$f(0) = (0)^4 – 1 = -1$$

النقطة الحرجة هي: $(0, -1)$.

اختبار الإشارة:

• نرسم خط الأعداد ونضع الصفر في المنتصف.
• نأخذ عددًا أكبر من الصفر (مثلاً 1):

  $$f'(1) = 4(1)^3 = 4 > 0 \quad \Rightarrow \quad تزايد$$

• نأخذ عددًا أصغر من الصفر (مثلاً -1):

  $$f'(-1) = 4(-1)^3 = -4 < 0 \quad \Rightarrow \quad تناقص$$

النتيجة:

• النقطة الحرجة تمثل نهاية صغرى محلية.
• مناطق التزايد: $x > 0$
• مناطق التناقص: $x < 0$

التمرين الثاني:

معادلة الدالة:

$$f(x) = x^3$$

الحل:

• نشتق الدالة:

$$f'(x) = 3x^2$$

• نصفر المشتقة:

$$3x^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$$

• نعوض:

$$f(0) = (0)^3 = 0$$

النقطة الحرجة: $(0, 0)$.

اختبار الإشارة:

• نأخذ عددًا أكبر من 0 (مثلاً 1):

  $$f'(1) = 3(1)^2 = 3 > 0$$

• نأخذ عددًا أصغر من 0 (مثلاً -1):

  $$f'(-1) = 3(-1)^2 = 3 > 0$$

النتيجة:

• الدالة متزايدة في كل المجال.
• مناطق التزايد: لجميع قيم $x$.

التمرين الثالث:

معادلة الدالة:

$$f(x) = (x-1)^3$$

الحل:

• نشتق الدالة باستخدام قاعدة القوى:

$$f'(x) = 3(x-1)^2$$

• نصفر المشتقة:

$$3(x-1)^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1$$

• نعوض:

$$f(1) = (1-1)^3 = 0$$

النقطة الحرجة: $(1, 0)$.

اختبار الإشارة:

• عدد أصغر من 1 (مثلاً 0):

  $$f'(0) = 3(0-1)^2 = 3 > 0$$

• عدد أكبر من 1 (مثلاً 2):

  $$f'(2) = 3(2-1)^2 = 3 > 0$$

النتيجة:

• الدالة متزايدة دومًا ولا توجد نهايات عظمى أو صغرى.

التمرين الرابع:

معادلة الدالة:

$$f(x) = x^3 – 9x^2 + 24x$$

الحل:

• نشتق الدالة:

$$f'(x) = 3x^2 – 18x + 24$$

• نصفر المشتقة:

أولاً نقسم على 3 لتسهيل الحل:

$$x^2 – 6x + 8 = 0$$

نحل بالتحليل:

$$(x-2)(x-4) = 0 \quad \Rightarrow \quad x=2 \quad أو \quad x=4$$

• نجد النقاط الحرجة:
  • $f(2) = 2^3 – 9(2)^2 + 24(2) = 20$
  • $f(4) = 4^3 – 9(4)^2 + 24(4) = 16$

النقطتان الحرجتان هما: $(2, 20)$ و$(4, 16)$.

اختبار الإشارة:

بما أن أعلى قوة هي $x^2$ ومعاملها موجب، إذًا:

• الأطراف موجبة.
• المنتصف سالب.

النتيجة:

• عند $x = 2$: نهاية عظمى محلية.
• عند $x = 4$: نهاية صغرى محلية.
• مناطق التزايد: $x < 2$ و$x > 4$
• مناطق التناقص: بين $2$ و$4$.

ملاحظات مهمة:

• في كل تمرين، النقطة الحرجة تُحسب من خلال المشتقة الأولى.
• اختبار الإشارة يكون عبر التعويض بعدد أكبر أو أصغر في المشتقة الأولى وليس الدالة الأصلية.
• نوع النهاية (عظمى أو صغرى) يتحدد بناءً على التزايد أو التناقص.
• مناطق التزايد والتناقص تكتب كنطاقات $x$.

خاتمة

بهذا نكون قد أكملنا حل تمارين (4-3) بالكامل. نؤكد على ضرورة فهم خطوات الحل جيدًا لأنها الأساس في التعامل مع بقية مسائل النهايات والنقاط الحرجة. احرص دائمًا على:

• كتابة خطوات الحل بوضوح.
• تفسير الإشارات بشكل صحيح.
• تمييز بين النهاية العظمى والصغرى بدقة.