حل تمارين إيجاد النقاط الحرجة والنهايات – الصف السادس الأدبي

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته طلاب السادس الأدبي.
في هذه المحاضرة نكمل شرح حل تمارين إيجاد النقاط الحرجة والنهايات، بناءً على تمارين صفحة 91 من الكتاب. سنتبع نفس الخطوات التي تعلمناها سابقاً، مع التأكيد على أهمية فهم المشتقة الأولى واستخدامها لاختبار الإشارات.

تعريفات مهمة:

النقطة الحرجة:
هي النقطة التي تكون عندها المشتقة الأولى للدالة مساوية للصفر أو غير معرفة. تستخدم لتحديد النهايات العظمى والصغرى المحلية.

النهاية العظمى المحلية:
نقطة يحدث فيها تغيير من تزايد إلى تناقص.

النهاية الصغرى المحلية:
نقطة يحدث فيها تغيير من تناقص إلى تزايد.

خطوات حل تمارين النقاط الحرجة والنهايات:

1. اشتق الدالة مرة واحدة للحصول على المشتقة الأولى (دالة الاختبار).
2. ساوِ المشتقة بالصفر لإيجاد قيم $x$ الحرجة.
3. عوّض قيم $x$ في الدالة الأصلية لإيجاد نقاط التقاطع $(x, y)$.
4. ارسم خط الأعداد وحدد إشارات المشتقة الأولى لاختبار التزايد والتناقص.
5. استنتج نوع النهايات (عظمى أو صغرى).

حل السؤال الأول:

الدالة المعطاة:

$$f(x) = x^4 – 2x^2 – 3$$

الاشتقاق الأول:

$$f'(x) = 4x^3 – 4x$$

إيجاد النقاط الحرجة:

نساوي المشتقة بالصفر:

$$4x^3 – 4x = 0$$

نقسم الطرفين على 4:

$$x^3 – x = 0$$

نسحب العامل المشترك $x$:

$$x(x^2 – 1) = 0$$

نحلل:

• إما $x = 0$
• أو $x^2 – 1 = 0 \Rightarrow x = 1$ أو $x = -1$

حساب قيم $y$:

• عند $x = 0$:

$$f(0) = 0 – 0 – 3 = -3$$

النقطة: (0, -3)

• عند $x = -1$:

$$f(-1) = 1 – 2 – 3 = -4$$

النقطة: (-1, -4)

• عند $x = 1$:

$$f(1) = 1 – 2 – 3 = -4$$

النقطة: (1, -4)

اختبار الإشارات:

نرسم خط الأعداد ونقسمه حسب النقاط الحرجة:
الأقسام هي:

• أصغر من -1
• بين -1 و0
• بين 0 و1
• أكبر من 1

نختار أعداد اختبار من كل منطقة:

استنتاج نوع النهايات:

• عند $x = -1$ يوجد نهاية صغرى محلية.
• عند $x = 0$ يوجد نهاية عظمى محلية.
• عند $x = 1$ يوجد نهاية صغرى محلية.

حل سؤال إضافي (مراجعة):

الدالة المعطاة:

$$f(x) = 5 + 4x^3 – x^4$$

الاشتقاق الأول:

$$f'(x) = 12x^2 – 4x^3$$

نساوي المشتقة بالصفر:

$$4x^2(3 – x) = 0$$

الحلول:

• $x = 0$
• $x = 3$

حساب قيم $y$:

• عند $x = 0$:

$$f(0) = 5$$

النقطة: (0, 5)

• عند $x = 3$:

$$f(3) = 5 + 4(27) – (81) = 32$$

النقطة: (3, 32)

اختبار الإشارات:

• أصغر من 0: موجب (تزايد)
• بين 0 و3: موجب (تزايد)
• أكبر من 3: سالب (تناقص)

استنتاج نوع النهاية:

• عند $x = 3$ يوجد نهاية عظمى محلية.
• لا توجد نهاية عند $x = 0$.

حل سؤال الثوابت في النهايات:

السؤال: دالة تحتوي على مجاهيل:

$$f(x) = a + (x – b)^2$$

مطلوب إيجاد $a$ و$b$.

الخطوات:

1. نعوض نقطة النهاية المعطاة.
2. نوجد معادلتين ونحل بالنظام (الحذف أو التعويض).
3. نجد قيم $a$ و$b$.

ملخص:

• التعويض في الدالة الأصلية.
• الاشتقاق والمساواة بالصفر.
• الحل بطريقة الحذف أو التعويض.

حل سؤال إيجاد المجاهيل لنقطة حرجة:

السؤال: دالة تحتوي على مجاهيل:

$$f(x) = 3 + ax + bx^2$$

الخطوات:

1. تعويض النقطة في الدالة الأصلية للحصول على المعادلة الأولى.
2. اشتقاق الدالة الأولى، مساواتها بالصفر وتعويض نقطة $x$ للحصول على المعادلة الثانية.
3. حل المعادلتين لإيجاد قيم $a$ و$b$.
4. تحديد نوع النهاية الحرجة (عظمى أم صغرى) من خلال اختبار الإشارات.

النتيجة النهائية:

• النقطة الحرجة تمثل نهاية عظمى محلية.

في هذه المحاضرة، تعلمنا بالتفصيل كيف نوجد النقاط الحرجة، نحسب قيم $y$، نرسم خط الأعداد، نختبر الإشارات، ونحدد نوع النهايات المحلية. كذلك تعلمنا كيفية التعامل مع الدوال التي تحتوي على مجاهيل واستخراج قيمها بدقة من خلال المعادلات.
ننصح بمراجعة محاضرتي رقم 10 و11 لمزيد من التدرب وإتقان الموضوع.