شرح موضوع نقاط الانقلاب ومناطق التقعر والتحدب – السادس الأدبي

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته طلاب الصف السادس الأدبي.
اليوم نكمل معكم شرح موضوع نقاط الانقلاب ومناطق التقعر والتحدب. هذا الموضوع يعتبر سهل إذا كنتَ متمكنًا من موضوع النهايات العظمى والصغرى، حيث في النهايات كنا نشتق الدالة مرة واحدة فقط، أما هنا في نقاط الانقلاب نشتق الدالة مرتين.

تعريف مهم:

• نقاط الانقلاب (Inflection Points): هي النقاط التي يتغير فيها تقعر الدالة من تقعر إلى تحدب أو العكس.
• مناطق التقعر: المناطق التي تكون فيها الدالة متقعرة للأعلى.
• مناطق التحدب: المناطق التي تكون فيها الدالة محدبة للأسفل.

خطوات الحل:

عند السؤال عن إيجاد نقاط الانقلاب أو مناطق التقعر والتحدب، نتبع الخطوات التالية:

1. اشتق الدالة مرتين.
2. ساوي المشتقة الثانية بالصفر لإيجاد قيم $x$.
3. اختبر الإشارة على خط الأعداد حول القيم الناتجة من الخطوة الثانية.
4. بناءً على تغير الإشارات تحدد:
   • وجود أو عدم وجود نقطة انقلاب.
   • مناطق التقعر والتحدب.

مثال توضيحي

سؤال: جد نقاط الانقلاب ومناطق التقعر والتحدب للدالة:

$f(x) = x^3 – 3x + 2$

الحل:

1. المشتقة الأولى:

$$f'(x) = 3x^2 – 3$$

2. المشتقة الثانية (دالة الاختبار):

$$f”(x) = 6x$$

3. إيجاد قيم $x$: ساوي المشتقة الثانية بالصفر:

$$6x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$$

4. إيجاد $y$:
   نعوض $x = 0$ في الدالة الأصلية:

$$f(0) = 0^3 – 3(0) + 2 = 2$$

إذن النقطة (0, 2).

5. الاختبار على خط الأعداد:
   • نأخذ عددًا أكبر من 0، مثل 1:

     $$f”(1) = 6(1) = 6 > 0 \quad \text{(موجب)}$$إذن الدالة متقعرة للأعلى.

   • نأخذ عددًا أصغر من 0، مثل -1:

     $$f”(-1) = 6(-1) = -6 < 0 \quad \text{(سالب)}$$إذن الدالة محدبة للأسفل.

6. الاستنتاج:

• عند $x = 0$، الدالة تنتقل من تحدب إلى تقعر، إذن النقطة (0,2) نقطة انقلاب.
• مناطق التحدب: عندما $x < 0$.
• مناطق التقعر: عندما $x > 0$.

ملاحظة مهمة جدًا

إذا كانت المشتقة الثانية مجرد عدد ثابت بدون $x$، فإن:

• إذا كان العدد موجبًا: الدالة متقعرة للأعلى ولا توجد نقطة انقلاب.
• إذا كان العدد سالبًا: الدالة محدبة للأسفل ولا توجد نقطة انقلاب.

مثال:

السؤال: جد مناطق التقعر والتحدب للدالة:

$$f(x) = x^2 – 4x + 2$$

الحل:

• المشتقة الأولى:

$$f'(x) = 2x – 4$$

• المشتقة الثانية:

$$f”(x) = 2$$

مشتقة ثانية عدد ثابت موجب.

النتيجة:

• الدالة متقعرة للأعلى دائمًا.
• لا توجد نقطة انقلاب.

أمثلة إضافية لحالات خاصة

مثال 1:

$$f(x) = 3 – 2x – 3x^2$$

• المشتقة الأولى:

$$f'(x) = -2 – 6x$$

• المشتقة الثانية:

$$f”(x) = -6$$

عدد ثابت سالب ⇒ الدالة محدبة دائمًا ولا توجد نقطة انقلاب.

مثال 2:

$$f(x) = 10 + 5x^2$$

• المشتقة الأولى:

$$f'(x) = 10x$$

• المشتقة الثانية:

$$f”(x) = 10$$

عدد ثابت موجب ⇒ الدالة مقعرة دائمًا ولا توجد نقطة انقلاب.

خلاصة سريعة

نصائح أثناء الحل:

• إذا طلب السؤال “جد مناطق التقعر والتحدب”، اختبر قيم $x$ على خط الأعداد باستخدام دالة الاختبار.
• عند التعويض لا تهتم إلا بإشارة الناتج (موجب أو سالب).
• الرسم التخطيطي يساعدك جدًا في تصور التحول من تحدب إلى تقعر أو العكس.
• دائمًا نعوض لإيجاد $y$ في الدالة الأصلية وليس المشتقات.