حل تمارين 5-3 نقاط الانقلاب ومناطق التقعر والتحدب صفحة 94

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته طلاب الصف السادس الأدبي.
في هذه المحاضرة، سنحل تمارين 5-3 صفحة 94 من الكتاب الوزاري. موضوعنا هو:
“إيجاد نقاط الانقلاب إن وجدت، ومناطق التقعر والتحدب.”

قبل أن نبدأ، تأكد أنك قد فهمت المحاضرة السابقة عن نقاط الانقلاب، لأن خطوات الحل هنا تعتمد عليها.

خطوات حل نقاط الانقلاب:

عندما يطلب منك في السؤال “جد نقاط الانقلاب”، يجب أن:

1. تشتق الدالة مرتين: المشتقة الأولى ثم المشتقة الثانية.
2. تصفر المشتقة الثانية لإيجاد قيم $x$.
3. تعوض قيم $x$ في الدالة الأصلية لاستخراج قيم $y$.
4. تحقق باستخدام خط الأعداد لتحديد إذا كانت النقط الناتجة تمثل نقاط انقلاب فعلية.
5. تستخرج مناطق التقعر والتحدب بناءً على نتيجة اختبار الإشارة.

التمرين الأول

السؤال:
دالة تحتوي على مشتقة ثانية ثابتة.

الحل:

• اشتقاق الدالة مرتين يظهر أن المشتقة الثانية عدد ثابت (موجب).
• بما أن المشتقة الثانية ثابتة وموجبة، فإن الدالة متقعرة للأعلى دائمًا.
• لا توجد نقاط انقلاب.

التمرين الثاني

السؤال:
$f(x) = 3x – x^3$

الحل:

1. المشتقة الأولى:
   $f'(x) = 3 – 3x^2$
2. المشتقة الثانية:
   $f”(x) = -6x$
3. نصفر المشتقة الثانية:
   $-6x = 0$ → $x = 0$
4. نعوض $x = 0$ في الدالة الأصلية:
   $f(0) = 0$ إذًا النقطة (0, 0) مرشحة للانقلاب.
5. اختبار الإشارة على خط الأعداد:
   • للأعداد أكبر من 0: الإشارة سالبة → تحدب.
   • للأعداد أصغر من 0: الإشارة موجبة → تقعر.

النتيجة:
النقطة (0, 0) نقطة انقلاب.

مناطق التقعر: $x < 0$
مناطق التحدب: $x > 0$

التمرين الثالث

السؤال:
$f(x) = x^3 – 3x^2$

الحل:

1. المشتقة الأولى:
   $f'(x) = 3x^2 – 6x$
2. المشتقة الثانية:
   $f”(x) = 6x – 6$
3. نصفر المشتقة الثانية:
   $6x – 6 = 0$ → $x = 1$
4. نعوض $x = 1$ في الدالة الأصلية:
   $f(1) = (1)^3 – 3(1)^2 = -2$ إذًا النقطة (1, -2) مرشحة للانقلاب.
5. اختبار الإشارة:
   • أكبر من 1: الإشارة موجبة → تقعر.
   • أصغر من 1: الإشارة سالبة → تحدب.

النتيجة:
النقطة (1, -2) نقطة انقلاب.

مناطق التقعر: $x > 1$
مناطق التحدب: $x < 1$

التمرين الرابع

السؤال:
$f(x) = x^5$

الحل:

1. المشتقة الأولى:
   $f'(x) = 5x^4$
2. المشتقة الثانية:
   $f”(x) = 20x^3$
3. نصفر المشتقة الثانية:
   $20x^3 = 0$ → $x = 0$
4. نعوض $x = 0$ في الدالة الأصلية:
   $f(0) = 0$
5. اختبار الإشارة:
   • أكبر من 0: إشارة موجبة → تقعر.
   • أصغر من 0: إشارة سالبة → تحدب.

النتيجة:
النقطة (0, 0) نقطة انقلاب.

مناطق التقعر: $x > 0$
مناطق التحدب: $x < 0$

التمرين الخامس

السؤال:
دالة تحتوي على قوس مرفوع لقوة 3.

الحل:

1. المشتقة الأولى: باستخدام قاعدة السلسلة.
2. المشتقة الثانية: باستخدام نفس القاعدة مع تبسيط.
3. نصفر المشتقة الثانية ونحل المعادلة.
4. استخراج النقطة بعد التعويض.
5. اختبار الإشارة لتحديد الانقلاب.

النتيجة:
النقطة التي حسبناها تمثل نقطة انقلاب.

مناطق التقعر: $x > 2$
مناطق التحدب: $x < 2$

التمرين السادس

السؤال:
دالة تحتوي على كسور وقوى.

الحل:

1. اشتقاق الدالة تبسيطيًا أولًا.
2. المشتقة الثانية تكون:
   $f”(x) = 3x^2 – 3$
3. نصفرها ونأخذ الجذر التربيعي:
   نحصل على $x = \pm1$
4. نحسب قيم $y$ عند $x = -1$ و$x = 1$.
5. نختبر الإشارة في ثلاث مناطق (أقل من -1، بين -1 و 1، أكبر من 1).

النتيجة:
النقطتان (-1, -5/4) و (1, -5/4) نقطتا انقلاب.

مناطق التقعر:

• $x < -1$ و$x > 1$

مناطق التحدب:

• بين (-1, 1)

التمرين السابع

السؤال:
$f(x) = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$

الحل:

1. المشتقة الأولى:
   $f'(x) = 3x^2 + 6x + 3$
2. المشتقة الثانية:
   $f”(x) = 6x + 6$
3. نصفر المشتقة الثانية:
   $x = -1$
4. نعوض $x = -1$ في الدالة الأصلية:
   $f(-1) = 0$
5. اختبار الإشارة:
   • أكبر من -1: موجب → تقعر.
   • أصغر من -1: سالب → تحدب.

النتيجة:
النقطة (-1, 0) نقطة انقلاب.

مناطق التقعر: $x > -1$
مناطق التحدب: $x < -1$

خلاصة

• نقاط الانقلاب تمثل المواضع التي يتغير فيها تقعر الدالة.
• مناطق التقعر حيث يكون منحنى الدالة للأعلى.
• مناطق التحدب حيث يكون منحنى الدالة للأسفل.

نصيحة:

ركز دائمًا على خطوات الحل وتحقق من الإشارات بشكل دقيق عند اختبار خط الأعداد.