السلام عليكم ورحمة الله وبركاته طلاب الصف السادس الأدبي. وصلنا اليوم إلى موضوع مهم وممتع وهو رسم الدوال. في هذا الموضوع، نتعلم كيف نرسم منحنى الدالة من خلال مجموعة من الخطوات الواضحة والمرتبة.

تعتمد عملية الرسم على معرفة النقاط الحرجة والنهايات ونقاط الانقلاب، وهي أمور درسناها مسبقًا. اليوم نضيف إليها طريقة استخراج نقاط التقاطع ثم نكمل برسم المنحنى باستخدام الجدول والمستوى الإحداثي.

خطوات رسم الدوال

لكي تتمكن من رسم منحنى الدالة بشكل صحيح، اتبع أربع خطوات أساسية:

1. إيجاد نقاط التقاطع مع المحورين.
2. تحديد النقاط الحرجة والنهايات.
3. إيجاد نقاط الانقلاب ومناطق التقعر والتحدب.
4. رسم جدول القيم ثم رسم المنحنى باستخدام المستوى الإحداثي.

كيفية استخراج نقاط التقاطع

عند طلب إيجاد نقاط التقاطع، نتبع طريقتين:

الطريقة الأولى: افتراض أن $x = 0$

نعوض $x = 0$ في الدالة الأصلية:

مثال:

الدالة: $f(x) = x^2 + 4x + 3$

نعوض:

$f(0) = 0^2 + 4(0) + 3 = 3$

النقطة: $(0, 3)$

الطريقة الثانية: افتراض أن $y = 0$

بما أن $y = f(x)$، نفرض أن الدالة تساوي صفرًا:

$x^2 + 4x + 3 = 0$

نحل المعادلة باستخدام التحليل إلى عوامل:

$(x + 3)(x + 1) = 0$

وبالتالي:

$x = -3$ أو $x = -1$

النقطتان الناتجتان هما:

• $(-3, 0)$
• $(-1, 0)$

إيجاد النقاط الحرجة والنهايات

كيف نستخرج النقاط الحرجة؟

• نشتق الدالة مرة واحدة.
• نساوي المشتقة بالصفر لإيجاد قيم $x$.
• نعوض قيم $x$ في الدالة الأصلية لإيجاد قيم $y$.

مثال:

المشتقة الأولى: $f'(x) = 2x + 4$

نساويها بالصفر:

$2x + 4 = 0$

نحل:

$x = -2$

نعوض في الدالة الأصلية:

$f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 – 8 + 3 = -1$

النقطة الحرجة:

$(-2, -1)$

كيف نحدد نوع النهاية؟

نستخدم اختبار المشتقة الأولى:

• نأخذ أعدادًا قبل وبعد النقطة.
• نضعها في المشتقة ونحدد الإشارة:
  • إشارة سالبة → تناقص.
  • إشارة موجبة → تزايد.
• إذا تحول التناقص إلى تزايد، فالنقطة تمثل نهاية صغرى.
• إذا تحول التزايد إلى تناقص، فالنقطة تمثل نهاية عظمى.

نقاط الانقلاب

كيف نستخرج نقاط الانقلاب؟

• نشتق الدالة مرتين.
• نساوي المشتقة الثانية بالصفر لإيجاد قيم $x$.
• نعوض لإيجاد قيم $y$.
• نختبر الإشارة قبل وبعد النقطة:
  • إذا تغير شكل المنحنى من تحدب إلى تقعر أو العكس → توجد نقطة انقلاب.

مثال:

المشتقة الثانية: $f”(x) = 2$

بما أن المشتقة الثانية عدد ثابت موجب، إذًا الدالة مقعرة دائمًا ولا توجد نقطة انقلاب.

تمثيل النقاط ورسم المنحنى

جدول القيم

بعد استخراج النقاط المهمة، نرتبها في جدول يتضمن:

رسم المستوى الإحداثي

• محور $x$ أفقي.
• محور $y$ عمودي.
• نوزع القيم الموجبة والسالبة وفق الأرقام المناسبة.

خطوات الرسم

• نبدأ من أول نقطة من جهة اليسار.
• نتجه للنقطة التالية وفق الترتيب.
• نربط النقاط بمنحنى ناعم (لا خطوط مستقيمة).
• نراعي اتجاه التزايد والتناقص بناءً على التحليل.

مثال إضافي: رسم دالة تكعيبية

للدالة:

$f(x) = x^3 – 3x$

نجد نقاط التقاطع والنقاط الحرجة ونقاط الانقلاب بنفس الخطوات، ثم نرسم.

النقاط الناتجة:

• نقاط التقاطع: $(0, 0)$، $(\sqrt{3}, 0)$، $(-\sqrt{3}, 0)$
• النقاط الحرجة: $(1, -2)$، $(-1, 2)$
• نقطة الانقلاب: $(0, 0)$

نرسم بعد تثبيت النقاط ومراعاة التحدب والتقعر والتزايد والتناقص.

خلاصة الدرس

• اتبع خطوات الحل بدقة.
• تأكد من إيجاد كل من:
  • نقاط التقاطع.
  • النقاط الحرجة والنهايات.
  • نقاط الانقلاب.
• راقب اتجاه المنحنى حسب النهايات ومناطق التحدب والتقعر.
• ارسم المنحنى بشكل انسيابي بدون تعرجات حادة.