في هذه المحاضرة سنراجع موضوع “الغاية” (Limit) في الرياضيات بشكل مبسط ومفصل ليستوعبه طلبة الصف السادس الأدبي بسهولة. سنتناول غاية الدوال الخطيّة والدوال الكسرية، ونتعامل مع المسائل خطوة بخطوة مع الشرح الكامل.

أولاً: غاية الدوال الخطية

تعريف:
غاية الدالة الخطية تعني حساب قيمة الدالة عندما تقترب قيمة المتغير (x) من عدد معيّن.

مثال (1):
احسب:

$$\lim_{{x \to -2}} (x^2 + 3)$$

الحل:
نعوض مباشرة عن $x = -2$ في المعادلة:

$$(-2)^2 + 3 = 4 + 3 = 7$$

إذن الغاية تساوي:

$$\boxed{7}$$

ثانياً: غاية الدوال الكسرية

الحالات في الدوال الكسرية:

• إذا كان المقام لا يساوي صفر، نعوض مباشرة.
• إذا أصبح المقام صفر، نواجه مشكلة، ويجب معالجتها بطرق مثل التحليل أو الضرب بالمرافق أو الاختزال.

الحالة الأولى: عندما المقام لا يساوي صفر

مثال (2):
احسب:

$$\lim_{{x \to 4}} \left( \frac{3x + 2}{x+1} \right)$$

الحل:
نعوض مباشرة:

$$\frac{3(4) + 2}{4 + 1} = \frac{12 + 2}{5} = \frac{14}{5}$$

إذن الغاية تساوي:

$$\boxed{\frac{14}{5}}$$

الحالة الثانية: عندما يكون المقام صفراً

تعريف:
عندما يصبح المقام صفر عند التعويض، تُسمى هذه حالة “مشكلة”.

كيف نعالج المشكلة؟
لدينا ثلاث طرق رئيسية:

1. التحليل: تبسيط البسط والمقام بالتحليل إلى عوامل.
2. الضرب بالمرافق: خاصة إذا كانت هناك جذور.
3. التعويض الذكي أو التبسيط: إذا أمكن التبسيط مباشرة.

ثالثاً: أمثلة على إيجاد الغاية في الحالات التي يظهر بها جذر أو تحتاج إلى معالجة

مثال (3):
احسب:

$$\lim_{{x \to 3}} \sqrt{3x + 7}$$

الحل:

• نعوض مباشرة:

$$\sqrt{3(3) + 7} = \sqrt{9 + 7} = \sqrt{16} = 4$$

إذن الغاية تساوي:

$$\boxed{4}$$

مثال (4):
احسب:

$$\lim_{{x \to 2}} \sqrt{4x + 1}$$

الحل:

• نعوض مباشرة:

$$\sqrt{4(2) + 1} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$$

إذن الغاية تساوي:

$$\boxed{3}$$

رابعاً: الغايات مع وجود المقام صفراً (مشاكل الغاية)

عندما نحاول حساب غاية دالة ويصبح لدينا مقام صفر بعد التعويض، نحتاج إلى خطوات إضافية.

أمثلة توضيحية:

مثال (5):
احسب:

$$\lim_{{x \to \sqrt{2}}} \left( \frac{x^2 – 2}{x – \sqrt{2}} \right)$$

الحل:

• نعوض مباشرة:
  • البسط: $(\sqrt{2})^2 – 2 = 2 – 2 = 0$
  • المقام: $\sqrt{2} – \sqrt{2} = 0$
• حصلنا على صورة $\frac{0}{0}$ وهي مشكلة.

لحل هذه المشكلة:

• نحلل البسط:

$$x^2 – 2 = (x – \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$$

• نختصر مع المقام:

$$\frac{(x – \sqrt{2})(x + \sqrt{2})}{x – \sqrt{2}} = x + \sqrt{2}$$

• ثم نعوض:

$$\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$

إذن الغاية تساوي:

$$\boxed{2\sqrt{2}}$$

مثال (6):
احسب:

$$\lim_{{x \to \sqrt{3}}} \left( \frac{x^2 – 3}{x – \sqrt{3}} \right)$$

الحل:

• نعوض مباشرة:
  • البسط: $(\sqrt{3})^2 – 3 = 3 – 3 = 0$
  • المقام: $\sqrt{3} – \sqrt{3} = 0$
• حصلنا على صورة $\frac{0}{0}$.

نحلل البسط:

$$x^2 – 3 = (x – \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$$

نختصر:

$$x + \sqrt{3}$$

نعوض:

$$\sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$$

إذن الغاية تساوي:

$$\boxed{2\sqrt{3}}$$

مثال (7):
احسب:

$$\lim_{{x \to 3}} \left( \frac{x^2 – 9}{\sqrt{3x} – 3} \right)$$

الحل:

• نعوض:
  • البسط: $3^2 – 9 = 9 – 9 = 0$
  • المقام: $\sqrt{9} – 3 = 3 – 3 = 0$
• حصلنا على صورة $\frac{0}{0}$.

نحتاج إلى معالجة الضرب بالمرافق.

نضرب البسط والمقام بالمرافق: مرافق المقام هو $\sqrt{3x} + 3$.

إذن:

$$\frac{(x^2 – 9)(\sqrt{3x} + 3)}{(\sqrt{3x} – 3)(\sqrt{3x} + 3)}$$

• المقام يصبح:

$$(\sqrt{3x})^2 – (3)^2 = 3x – 9$$

• البسط يبقى كما هو الآن.

نلاحظ أن $x^2 – 9$ عامل مشترك يمكن تحليله:

$$x^2 – 9 = (x – 3)(x + 3)$$

نكمل العمليات الجبرية، ثم نعوض عن $x = 3$ للحصول على النتيجة النهائية.

خلاصة

• الغاية عندما لا يسبب التعويض صفر في المقام، نعوض مباشر.
• إذا حصلنا على مشكلة $\frac{0}{0}$، نحلل أو نضرب بالمرافق.
• الجذور نتعامل معها بالمرافق أو التبسيط الذكي.
• القاعدة الأساسية: “عند الشك، بسط أو اضرب بالمرافق!”