المحاضرة الثانية في تكامل قوس مرفوع إلى قوة

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته طلاب الصف السادس الأدبي، وصلنا اليوم إلى المحاضرة الثانية من فصل التكامل، موضوعنا هو: تكامل قوس مرفوع إلى قوة.

قبل أن تبدأ بدراسة هذا الموضوع، من المهم جدًا قراءة المحاضرة الأولى بتركيز، لأن أفكار التكامل متسلسلة. إذا بدأت من هذه المحاضرة دون فهم المحاضرة الأولى، فستفهم القليل فقط. لذلك التدرج بالمحاضرات ضروري للحصول على صورة كاملة وواضحة عن موضوع التكامل.

مراجعة سريعة

في المحاضرة الأولى تعلمنا:

• كيفية تكامل الدوال الخطية.
• كيفية حل أمثلة وزارية.
• إعطاء تمارين واجب.

تعريف: ما هو تكامل قوس مرفوع إلى قوة؟

عندما نرى قوسًا (عبارة داخل أقواس) مرفوعًا إلى قوة، وُجد شرط أساسي يجب أن نحققه قبل التكامل وهو:

• توفر مشتقة داخل القوس.

بمعنى آخر: يجب أن تكون مشتقة التعبير داخل القوس موجودة خارج القوس أو قابلة للتوفير. بعدها نتمكن من إجراء التكامل.

أمثلة على تكامل قوس مرفوع إلى قوة

المثال الأول

احسب:

$$\int (x^2 + 3)^4 (2x) \, dx$$

خطوات الحل:

• مشتقة داخل القوس $x^2 + 3$ هي $2x$.
• لاحظ أن $2x$ موجودة خارج القوس.
• نهمل المشتقة لأنها موجودة.
• نكامل القوس:
  • نزيد القوة واحد: $4 + 1 = 5$.
  • نقسم على القوة الجديدة.
• الحل النهائي:

$$\frac{(x^2 + 3)^5}{5} + C$$

المثال الثاني

احسب:

$$\int (x+6)^2 \, dx$$

• مشتقة $x+6$ هي $1$، والعدد واحد موجود افتراضياً.
• إذًا نهمل المشتقة.
• نزيد القوة واحد: $2+1=3$.
• نقسم على القوة الجديدة.
• الحل:

$$\frac{(x+6)^3}{3} + C$$

ملاحظة مهمة

أي قوس مرفوع إلى قوة يجب أولاً توفير مشتقة داخله قبل أي خطوة أخرى.

كيف تتعامل مع عدم وجود المشتقة؟

إذا لم تكن مشتقة الداخل موجودة خارج القوس:

• يمكنك “توفيرها” يدويًا.
• لكن يجب أن تضيف المقلوب المضروب:
  • إذا احتجت 2، تضرب ب2 وتضرب خارج التكامل ب $\frac{1}{2}$.
  • إذا احتجت 3، تضرب ب3 وتضرب خارج التكامل ب $\frac{1}{3}$.
  • وهكذا.

مثال: احسب:

$$\int (3x^4 – 5)^6 (12x^3) \, dx$$

• مشتقة الداخل $3x^4 -5$ هي $12x^3$.
• موجودة خارج القوس.
• إذًا نهملها.
• نزيد القوة واحد: $6+1=7$.
• نقسم على القوة الجديدة:

$$\frac{(3x^4-5)^7}{7} + C$$

التعامل مع القوس الموجود في المقام

ملاحظة: إذا وجدت قوسًا مرفوعًا لقوة في المقام، يجب:

• رفع القوس إلى البسط مع تغيير إشارة القوة إلى سالبة.

مثال:

$$\int \frac{1}{(x^2 + 1)^3} \, dx$$

نكتبه:

$$\int (x^2 + 1)^{-3} \, dx$$

ثم نتبع خطوات التكامل السابقة بعد توفير المشتقة.

تكامل القوس عند وجود كسر كقوة

إذا كانت القوة كسرية (مثلاً $\frac{1}{2}$، $\frac{3}{5}$):

• نزيد الكسر واحدًا (نجمع البسط مع المقام).
• ثم نقلب الكسر بدل القسمة.

مثال:

$$\int (1-2x)^{\frac{2}{3}} \, dx$$

• مشتقة الداخل موجودة.
• نزيد القوة واحد:
  • $\frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$.
• مقلوب الكسر $\frac{3}{5}$.
• الحل النهائي:

$$\frac{3}{5} (1-2x)^{\frac{5}{3}} + C$$

أمثلة متنوعة مع شرح تفصيلي

مثال وزاري

احسب:

$$\int (x^3 +7)^5 (x^2) \, dx$$

• مشتقة الداخل $3x^2$ وليس $x^2$.
• نضرب ونضيف المقلوب $\frac{1}{3}$.
• الحل يصبح:

$$\frac{1}{18} (x^3+7)^6 + C$$

مثال مع تحويل جذور إلى أسس

إذا كان لدينا جذر بالمقام مثل:

$$\frac{1}{\sqrt[5]{5-x^4}}$$

• نعيد كتابته بصورة أسية:

$$(5-x^4)^{-\frac{1}{5}}$$

• ثم نرتب ونوفر المشتقة.

نصيحة ختامية

• استمر في التكرار والتطبيق، ولا تيأس من الأخطاء.
• النجاح في التكامل يحتاج إلى حل الكثير من الأمثلة.

أسئلة الواجب

• تمارين 1-4 صفحة 116: رقم (6، 14، 15).