محاضرة 2 – قواعد الاشتقاق

قبل أن نبدأ بشرح القواعد الجديدة، ضروري جدًا أن تراجعوا المحاضرة الأولى التي شرحنا فيها أول أربع قواعد للاشتقاق، حتى تترابط عندكم الأفكار ويصبح الشرح أكثر وضوحًا.

في هذه المحاضرة سنغطي القواعد:

• القاعدة الخامسة: مشتقة حاصل ضرب دالتين
• القاعدة السادسة: مشتقة حاصل قسمة دالتين
• القاعدة السابعة: مشتقة دالة مرفوعة لقوة

القاعدة الخامسة: مشتقة حاصل ضرب دالتين

التعريف:
عندما ترى دالتين مضروبتين في بعضهما، فإن قاعدة الاشتقاق تنص على:

$$(f(x)g(x))’ = f(x)g'(x) + g(x)f'(x)$$

بمعنى آخر:

• الأولى تنزل كما هي وتُضرب في مشتقة الثانية
• زائد الثانية تنزل كما هي وتُضرب في مشتقة الأولى

مثال:

أوجد $f'(x)$ للدالة:

$$f(x) = (5x + x^3)(4x – 3)$$

الحل:

• الأولى: $5x + x^3$
• الثانية: $4x – 3$

نشتق حسب القاعدة:

• نزل الأولى: $5x + x^3$
• اضربها في مشتقة الثانية: مشتقة $4x – 3$ هي $4$
• زائد الثانية: $4x – 3$
• اضربها في مشتقة الأولى: مشتقة $5x$ هي $5$، ومشتقة $x^3$ هي $3x^2$

وبعد ذلك نعوض القيم ونبسط الناتج كما تعلمنا.

سؤال وأجابة:

س: ما هو قانون مشتقة حاصل ضرب دالتين؟
ج: الأولى × مشتقة الثانية + الثانية × مشتقة الأولى.

القاعدة السادسة: مشتقة حاصل قسمة دالتين

التعريف:
عندما تكون لديك دالة على دالة (كسر)، قاعدة الاشتقاق تنص على:

$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)’ = \frac{g(x)f'(x) – f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

بمعنى آخر:

• المقام يُربع.
• في البسط: المقام × مشتقة البسط – البسط × مشتقة المقام.

مثال:

أوجد $f'(x)$ للدالة:

$$f(x) = \frac{x^3 + 4}{2x+1}$$

الحل:

• البسط: $x^3 + 4$
• المقام: $2x + 1$

نطبق القاعدة:

• المقام تربيع: $(2x + 1)^2$
• المقام × مشتقة البسط: مشتقة $x^3$ هي $3x^2$
• ناقص البسط × مشتقة المقام: مشتقة $2x + 1$ هي $2$

ثم نبسط الناتج ونعوض عند الحاجة.

سؤال وأجابة:

س: كيف تشتق قسمة دالتين؟
ج: المقام تربيع × (مقام × مشتقة البسط – بسط × مشتقة المقام).

القاعدة السابعة: مشتقة دالة مرفوعة لقوة

التعريف:
عند اشتقاق قوس مرفوع لقوة، نستخدم قاعدة خاصة:

(f(x))^n’ = n(f(x))^{n-1} \times f'(x)

خطوات الاشتقاق:

1. تنزل القوة إلى الأمام.
2. تنسخ القوس كما هو.
3. تطرح من القوة واحد.
4. تضرب في مشتقة داخل القوس.

مثال:

أوجد $f'(x)$ للدالة:

$$f(x) = (x^2 + 3)^4$$

الحل:

• القوة (4) تنزل في البداية.
• القوس (x² + 3) يبقى كما هو.
• نطرح من القوة واحد: 4 – 1 = 3.
• نضرب في مشتقة داخل القوس: مشتقة $x^2$ هي $2x$، ومشتقة 3 هي صفر.

الناتج النهائي سيكون:

$$f'(x) = 4(x^2 + 3)^3 \times 2x$$

سؤال وأجابة:

س: كيف نشتق قوس مرفوع لقوة؟
ج: القوة × القوس مرفوع إلى القوة -1 × مشتقة داخل القوس.

تطبيقات وأسئلة واجب للطلاب

سؤال واجب 1:

أوجد المشتقة الأولى للدالة التالية عند $x = 2$:

$$f(x) = (x^2 + 1)(3x – 5)$$

سؤال واجب 2:

أوجد المشتقة الأولى للدالة التالية عند $x = 0$:

$$f(x) = \frac{5x}{x+1}$$

سؤال واجب 3:

أوجد المشتقة الأولى للدالة التالية:

$$f(x) = (2x^3 + 5x^2 + 1)^6$$

ملاحظات مهمة للطلبة

• لا تهمل مراجعة المحاضرة الأولى عن القواعد الأساسية للاشتقاق.
• انتبه إلى ضرورة تبسيط الناتج بعد الاشتقاق.
• عند وجود أقواس مرفوعة لقوى كسرية، تعامل مع المقام كما شرحنا.
• لكل قاعدة حالات خاصة يجب حفظها وتطبيقها بحذر.