تعريف غاية الدوال المنشطرة:

عند التعامل مع دالة منشطرة (مقسمة إلى حالتين أو أكثر)، نحتاج إلى حساب الغاية من اليمين والغاية من اليسار:

• دالة اليمين: عندما يكون $x > عدد$.
• دالة اليسار: عندما يكون $x < عدد$.

صيغة الدالة تكون بالشكل التالي:

$$f(x) = \begin{cases} \text{دالة اليمين} & x > \text{عدد} \\ \text{دالة اليسار} & x < \text{عدد} \end{cases}$$

ملاحظات مهمة:

• $L_1$: غاية اليمين تقابل قاعدة اليمين.
• $L_2$: غاية اليسار تقابل قاعدة اليسار.
• تكون الغاية موجودة إذا كان:

$$L_1 = L_2$$

أمثلة توضيحية على غاية الدوال المنشطرة:

المثال الأول:

أوجد هل للدالة غاية عندما $x \to 1$ إذا كانت:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x > 1 \\ 2x & x < 1 \end{cases}$$

الحل:

لحساب الغايتين:

• الغاية من اليمين ($x \to 1^+$) باستخدام قاعدة اليمين $x^2 + 1$:

  $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = (1)^2 + 1 = 2$$

• الغاية من اليسار ($x \to 1^-$) باستخدام قاعدة اليسار $2x$:

  $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2(1) = 2$$

بما أن:

$$L_1 = L_2 = 2$$

إذن الغاية موجودة وقيمتها:

$$\lim_{x \to 1} f(x) = 2$$

المثال الثاني:

أوجد هل للدالة غاية عند $x = 2$ إذا كانت:

$$f(x) = \begin{cases} 1-x & x \leq 2 \\ x+1 & x > 2 \end{cases}$$

الحل:

• الغاية من اليمين ($x \to 2^+$) باستخدام قاعدة اليمين $x+1$:

  $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 2+1 = 3$$

• الغاية من اليسار ($x \to 2^-$) باستخدام قاعدة اليسار $1-x$:

  $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = 1-2 = -1$$

بما أن:

$$-1 \neq 3$$

إذن الغاية غير موجودة عند $x = 2$.

المثال الثالث:

أوجد هل للدالة غاية عندما $x \to 2$ إذا كانت:

$$f(x) = \begin{cases} 3x-1 & x < 2 \\ \frac{2}{x+2x} & x \geq 2 \end{cases}$$

الحل:

• الغاية من اليمين ($x \to 2^+$) باستخدام قاعدة اليمين:

  $$\lim_{x \to 2^+} \frac{2}{x+2x} = \frac{2}{2+4} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

• الغاية من اليسار ($x \to 2^-$) باستخدام قاعدة اليسار:

  $$\lim_{x \to 2^-} (3(2) -1) = 6-1 = 5$$

بما أن:

$$5 \neq \frac{1}{3}$$

فالغاية غير موجودة عند $x = 2$.

المثال الرابع:

إذا كانت الدالة:

$$f(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} + 2 & x \geq 1 \\ 3+x & x < 1 \end{cases}$$

أوجد:

1. هل للدالة غاية عندما $x \to 1$ ؟

• الغاية من اليمين ($x \to 1^+$):

  $$\lim_{x \to 1^+} \left( \frac{1}{2} + 2 \right) = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$

• الغاية من اليسار ($x \to 1^-$):

  $$\lim_{x \to 1^-} (3+1) = 4$$

بما أن:

$$\frac{5}{2} \neq 4$$

إذن الغاية غير موجودة عند $x = 1$.

2. أوجد نهاية الدالة عند $x = 4$.

بما أن $x = 4 > 1$، نستخدم قاعدة اليمين:

$$f(x) = \frac{x}{2} + 2$$

نعوض:

$$f(4) = \frac{4}{2} + 2 = 2+2=4$$

إذن:

$$\lim_{x \to 4} f(x) = 4$$

3. أوجد نهاية الدالة عندما $x \to -2$.

بما أن $-2 < 1$، نستخدم قاعدة اليسار:

$$f(x) = 3+x$$

نعوض:

$$f(-2) = 3+(-2) = 1$$

إذن:

$$\lim_{x \to -2} f(x) = 1$$

الخلاصة:

لحساب غاية الدالة المنشطرة عند عدد معين:

• نحسب الغاية من اليمين باستخدام قاعدة اليمين.
• نحسب الغاية من اليسار باستخدام قاعدة اليسار.
• إذا كانت الغايتان متساويتين فإن الغاية موجودة وتساوي إحدى القيمتين.
• إذا اختلفتا فإن الغاية غير موجودة.