تكامل الدوال الجذرية – رياضيات السادس الادبي

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته طلاب الصف السادس الأدبي، اليوم سنواصل شرح الفصل الرابع، مع مراجعة سريعة للحالتين السابقتين، ثم نشرح بالتفصيل الحالة الثالثة لتكامل الدوال الجذرية.

مراجعة سريعة للحالتين السابقتين

أولاً: تكامل الدوال الخطية (الكثيرات الحدود)

القاعدة الأساسية:

• أي دالة خطية أو كثيرة حدود تُكامل مباشرة.
• نزيد الأس واحد ونقسم على الأس الجديد، ونضيف ثابت التكامل $C$.
• العدد الثابت عند تكامله يُضرب في $x$.

مثال 1:

$$\int (x^2 + 3x – 4) \, dx$$

خطوات الحل:

• $x^2$ نزيد الأس 1 ونقسم على 3: $\frac{x^3}{3}$
• $3x$ نزيد الأس 1 ونقسم على 2: $\frac{3x^2}{2}$
• $-4$ يصبح $-4x$
• نضيف الثابت $+ C$.

مثال 2:

$$\int \left( \frac{x^4}{3} + \frac{x}{2} \right) dx$$

خطوات الحل:

• نزيد الأس واحد لكل حد.
• القاعدة: عندما يكون الأس كسرًا، نضيف المقام إلى البسط، ونقلب الكسر أثناء القسمة.

ثانياً: تكامل قوس مرفوع إلى قوة

القاعدة الأساسية:

• لكي نكامل قوس مرفوع إلى قوة يجب توفر مشتقة داخل القوس.
• عند توفر المشتقة: نهملها ونكامل القوس بطريقة زيادة الأس واحد والقسمة على الأس الجديد.

مثال:

$$\int (x^2 + 4)^5 \times 2x \, dx$$

• مشتقة داخل القوس $2x$ موجودة ✅
• نحذف رمز التكامل، ننزل القوس نفسه، نزيد الأس 1 (6)، ونقسم على 6.
• ثم نضيف $+ C$.

الحالة الثالثة: تكامل الدوال الجذرية

مقدمة

عند التعامل مع الدوال الجذرية في التكامل، نتبع مسارين حسب حالة الجذر:

1. إذا لم يوجد تحليل داخل الجذر → نحول إلى صورة أُسية ونكامل مباشرة.
2. إذا وجد تحليل داخل الجذر → نبدأ بالتحليل أولاً، ثم نحول للصيغة الأُسية ونكامل.

كيفية التعامل مع الدوال الجذرية

أولاً: إذا لم يوجد تحليل

• نحول الجذر إلى أس عشري باستخدام قاعدة (الداخل/الخارج).
• نكامل بنفس طريقة الدوال الأسية أو الأقواس المرفوعة لقوة.

ثانياً: إذا وجد تحليل (تحليل داخل الجذر)

التحليل يتم بطريقتين:

• تحليل بالمربع الكامل (ثلاث حدود مع الأول تربيع)
• سحب عامل مشترك (وجود حدين مع قاسم مشترك)

خطوات تكامل الدوال الجذرية مع تحليل

الحالة الأولى: تحليل بالمربع الكامل

القاعدة الأساسية:

• إذا كان تحت الجذر ثلاث حدود، والأول تربيع، نستخدم التجربة للحصول على مربع كامل.
• نحول القوس الناتج إلى دالة أسية.
• نوفر مشتقة داخل القوس، ثم نكامل.

مثال تطبيقي:

$$\int \sqrt[3]{x^2 + 10x + 25} \, dx$$

خطوات الحل:

1. التحليل:
   $x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$
2. نحول إلى دالة أسية:
   الداخل/الخارج = $\frac{2}{3}$
3. نوفر مشتقة الداخل (مشتقة $x+5$ هي 1، موجودة ✅).
4. نكامل:
   نزيد من الأس واحد ونقسم على الأس الجديد.

الحالة الثانية: سحب عامل مشترك

القاعدة الأساسية:

• إذا كان تحت الجذر حدين ويوجد $x$ في كل حد → نسحب العامل المشترك.
• بعد السحب، نوزع الجذر على العامل والقوس.
• نختصر الجذر، ونحول الدالة المتبقية إلى صورة أُسية، ثم نكامل.

مثال تطبيقي:

$$\int \sqrt[3]{3x^3 – 5x^5} \, dx$$

خطوات الحل:

1. سحب عامل مشترك $x^3$:

   $$x^3 (3 – 5x^2)$$

2. توزيع الجذر:

   $$\sqrt[3]{x^3} \times \sqrt[3]{3-5x^2}$$

3. تبسيط الجذر الأول واستخدام قاعدة الأسس للجذر الثاني.
4. نوفر مشتقة الداخل ونكامل بنفس الطريقة.

نصيحة مهمة أثناء حل مسائل التكامل الجذري

• دائماً اسأل الدالة تحت الجذر: هل بها تحليل أم لا؟
• إذا بها تحليل، قم بالتحليل (بالمربع الكامل أو سحب عامل مشترك).
• إذا لم يكن بها تحليل، حولها إلى دالة أسية واكمل بشكل طبيعي.

أمثلة إضافية للتدريب (واجب)

• تمرين (ص116) – السؤال الثاني.
• تمرين (ص116) – السؤال التاسع.

ملاحظة: سيتم رفع فيديو خاص لحل هذه التمارين قريبا إن شاء الله.

الخلاصة

عند تكامل الدوال الجذرية نتبع هذه القواعد:

• بدون تحليل: نحول إلى دالة أسية مباشرة.
• مع تحليل:
  • تحليل بالمربع الكامل إذا ثلاث حدود.
  • سحب عامل مشترك إذا حدين.
• نوزع الجذر بعد التحليل ثم نحول إلى دالة أسية، ونكامل بعد توفر المشتقة.