اشتقاق الدوال الجذرية – شرح مبسط مع أمثلة

في المحاضرتين السابقتين، تعلمنا قواعد الاشتقاق السبعة وضبطناها بشكل جيد، مع تقديم أسئلة واجب لتثبيت المعلومات.
اليوم سنبدأ باشتقاق الدوال الجذرية، وهو موضوع مهم جدًا، خصوصًا أن أغلب أسئلة الامتحانات الوزارية تأتي من تمارين الكتاب، والعديد منها يتناول الدوال الجذرية.

تعريف الدالة الجذرية

الدالة الجذرية: هي الدالة التي تحتوي على جذر، مثل $\sqrt{x}$ أو $\sqrt[3]{x^2}$.

خطوات اشتقاق الدوال الجذرية

لاشتقاق دالة جذرية، يجب اتباع الخطوات التالية:

الخطوة الأولى: تحويل الجذر إلى دالة أسية

قبل الاشتقاق، نحول الدالة الجذرية إلى دالة أسية باستخدام القاعدة:

$$\text{أس الداخل على الخارج}$$

بمعنى آخر، الجذر $\sqrt[n]{x^m}$ يصبح $x^{m/n}$.

مثال:

• الجذر الرابع لـ $x^9$ يتحول إلى:

$$x^{9/4}$$

• الجذر التكعيبي لـ $x^2$ يتحول إلى:

$$x^{2/3}$$

إذا كان الجذر بدون دليل (أي جذر تربيعي)، نعتبر أن الدليل هو $2$.

الخطوة الثانية: الاشتقاق

بعد تحويل الجذر إلى دالة أسية، نطبق قاعدة الاشتقاق:

$$\frac{d}{dx}x^n = n \times x^{n-1}$$

أي أن:

• القاعدة العامة: تنزل الأس في بداية المتغير، ثم نطرح واحد من الأس.
• إذا كان الأس كسرًا، نستخدم القاعدة: المقام يبقى نفسه، والبسط يطرح منه المقام.

الخطوة الثالثة: إعادة الناتج إلى صورة جذرية (اختياري)

بعد الاشتقاق، إذا كان الناتج يحوي أسًا كسريًا، يمكننا إرجاعه إلى صورة جذرية لمزيد من الوضوح أو حسب طلب السؤال.

أمثلة مشروحة

المثال الأول

اشتق $\sqrt[3]{x^5}$.

الحل:

1. نحول الجذر إلى دالة أسية:

$$x^{5/3}$$

2. نطبق قاعدة الاشتقاق:
   • القاعدة: تنزل الأس:

$$\frac{5}{3}x^{(5/3) – 1}$$

3. نحسب الأس الجديد:
   • المقام نفسه (3)، البسط ناقص المقام:

$$5 – 3 = 2$$

إذًا:

$$\frac{5}{3}x^{2/3}$$

4. إذا أردنا إرجاعه إلى جذر:

$$\frac{5}{3} \sqrt[3]{x^2}$$

المثال الثاني

اشتق $\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

الحل:

1. نحول إلى دالة أسية:

$$(x^2+1)^{-1/2}$$

2. نطبق قاعدة الاشتقاق:
   • تنزل الأس:

$$-\frac{1}{2}(x^2+1)^{-3/2}$$

• نضرب في مشتقة داخل القوس:

$$\times 2x$$

3. بالتبسيط:

$$-\frac{1}{2} \times 2x \times (x^2+1)^{-3/2} = -\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}$$

ملاحظة مهمة

عند اشتقاق دوال تحتوي على قوس فيه جمع أو طرح، مثل $\sqrt{5x+3}$، نعامل كامل القوس على أنه دالة واحدة:

• أولًا نحول إلى دالة أسية.
• ثم نشتق باستخدام قاعدة السلسلة.

مثال إضافي: اشتق $\sqrt{5x+3}$.

الحل:

1. نحوله إلى دالة أسية:

$$(5x+3)^{1/2}$$

2. نطبق الاشتقاق:

$$\frac{1}{2}(5x+3)^{-1/2} \times 5$$

3. التبسيط:

$$\frac{5}{2\sqrt{5x+3}}$$

تمرين تطبيقي للطالب (واجب منزلي)

السؤال:
اشتق الدالة التالية:

$$f(x) = \sqrt[4]{x^3+2x}$$

خطوات الحل:

1. تحويل الجذر إلى أس:

$$(x^3+2x)^{1/4}$$

2. تطبيق الاشتقاق:
   • تنزل القوة:

$$\frac{1}{4}(x^3+2x)^{-3/4}$$

• نضرب في مشتقة داخل القوس:

$$(3x^2+2)$$

3. كتابة الشكل النهائي:

$$f'(x) = \frac{3x^2+2}{4\sqrt[4]{(x^3+2x)^3}}$$

تنبيهات أساسية

• إذا كان الجذر بدون عدد مكتوب فوقه (أي جذر تربيعي)، اعتبر الدليل $2$.
• إذا كانت الدالة الجذرية بالمقام، يجب أن تنقلها إلى البسط مع تغيير إشارة القوة.
• عند طرح الكسور، تذكر أن:
  • المقام يبقى كما هو.
  • نطرح البسط من المقام مباشرة.
• كل أس كسر بعد الاشتقاق، يمكن إرجاعه إلى صورة جذرية.

خلاصة المحاضرة

1. تحويل الجذر إلى دالة أسية ضروري قبل الاشتقاق.
2. تطبيق قاعدة الاشتقاق الأساسية مع مراعاة قاعدة السلسلة عند وجود قوس.
3. إعادة كتابة الناتج بصيغة جذرية إذا لزم الأمر.
4. التدريب على تمارين الكتاب، خصوصًا تمارين (3-2)، لأنها مهمة جدًا للامتحان الوزاري.