إيجاد المجاهيل في معادلات الغاية

عند التعامل مع الغايات في الرياضيات، قد يُطلب منا إيجاد مجهول داخل الدالة بحيث تكون للتابع غاية معينة. هذا النوع من المسائل يعتمد أساسًا على فهم فكرة وجود الغاية وعلاقتها بتساوي الغايتين اليمنى واليسرى، أو باستعمال معطيات إضافية من السؤال. في هذه المحاضرة سنشرح كيفية إيجاد المجهول خطوةً بخطوة مع أمثلة وأسئلة وأجوبتها.

ملاحظة مهمة جدًا:

إذا ذُكر في نص السؤال أن:

“الغاية موجودة”

فهذا يعني أن:

• غاية اليسار = غاية اليمين
• أي أن:

  $$\lim_{{x \to a^-}} f(x) = \lim_{{x \to a^+}} f(x)$$

بمعنى آخر، عند حل مثل هذه المسائل، من الضروري مساواة الغايتين اليمنى واليسرى لإيجاد قيمة المجهول.

مثال توضيحي (1):

لتكن الدالة:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + 2 & \text{إذا كان} \, x \leq 1 \\ 2x + a & \text{إذا كان} \, x > 1 \end{cases}$$

والمطلوب هو إيجاد قيمة $a$ بحيث تكون الغاية موجودة عندما $x \to 1$.

الحل:

بما أن الغاية موجودة:

$$\lim_{{x \to 1^-}} f(x) = \lim_{{x \to 1^+}} f(x)$$

نحسب الغايتين:

• الغاية من اليسار: نستخدم $x^2 + 2$

  $$\lim_{{x \to 1^-}} (x^2 + 2) = 1^2 + 2 = 3$$

• الغاية من اليمين: نستخدم $2x + a$

  $$\lim_{{x \to 1^+}} (2x + a) = 2(1) + a = 2 + a$$

بما أن الغايتين متساويتان:

$$3 = 2 + a$$

نحل المعادلة:

$$a = 1$$

الإجابة:

قيمة $a$ هي $1$.

ملاحظة إضافية مهمة:

في المسائل التي تتطلب إيجاد مجهولين (مثلاً $a$ و$b$) من خلال شرط وجود الغاية، نحتاج إلى معادلتين حتى نستطيع الحل.

مثال توضيحي (2):

لتكن الدالة:

$$f(x) = \begin{cases} x^2 + a & \text{إذا كان} \, x > 1 \\ b – 2x & \text{إذا كان} \, x \leq 1 \end{cases}$$

والمعطيات هي:

• الغاية موجودة عند $x = 1$

\lim_{{x \to 1}} f(x) = 5 ]

الحل:

بما أن الغاية موجودة:

1. مساواة الغايتين:

$$\lim_{{x \to 1^-}} f(x) = \lim_{{x \to 1^+}} f(x)$$

نحسب كل غاية:

• الغاية من اليسار: نستخدم $b – 2x$

  $$\lim_{{x \to 1^-}} (b – 2x) = b – 2(1) = b – 2$$

• الغاية من اليمين: نستخدم $x^2 + a$

  $$\lim_{{x \to 1^+}} (x^2 + a) = 1 + a$$

بما أن الغايتين متساويتان:

$$b – 2 = 1 + a \tag{1}$$

2. الغاية نفسها تساوي 5:

$$\lim_{{x \to 1}} f(x) = 5$$

يمكننا اختيار أي غاية (مثلاً اليمنى أو اليسرى) لتعويضها:

نستخدم اليمنى:

$$1 + a = 5$$

وبالتالي:

$$a = 4$$

نعوض قيمة $a$ في المعادلة (1):

$$b – 2 = 1 + 4$$ $$b – 2 = 5$$ $$b = 7$$

الإجابة:

قيمة $a = 4$، وقيمة $b = 7$.

مثال توضيحي (3):

لتكن الدالة:

$$f(x) = \begin{cases} 3x + a & x > 3 \\ x^2 – b & x < 3 \end{cases}$$

والمطلوب أن:

• الغاية موجودة عندما $x \to 3$
• $f(\sqrt{2}) = 5$

الحل:

نستخدم شرط وجود الغاية:

• الغاية من اليسار:

$$\lim_{{x \to 3^-}} (x^2 – b) = 9 – b$$

• الغاية من اليمين:

$$\lim_{{x \to 3^+}} (3x + a) = 9 + a$$

مساواة الغايتين:

$$9 – b = 9 + a$$ $$-b = a$$

بما أن $f(\sqrt{2}) = 5$، نعوض $\sqrt{2}$ في الجزء المناسب:

• بما أن $\sqrt{2} < 3$، نستخدم $x^2 – b$.

نعوض:

$$(\sqrt{2})^2 – b = 5$$ $$2 – b = 5$$ $$b = -3$$

نعوض قيمة $b$ لإيجاد $a$:

$$-b = a$$ $$-(-3) = 3$$

الإجابة:

$a = 3$، و$b = -3$.

ملاحظة مهمة:

عندما يعطيك السؤال عبارة مثل:

$$\lim_{{x \to a}} \frac{x^2 – a^2}{x – a} = 8$$

أو:

$$\lim_{{x \to n}} \frac{x^2 – n^2}{x – n} = 10$$

فهذه نماذج مباشرة نحلها بالتبسيط:

• بسط التعبير:

  $$\frac{x^2 – a^2}{x – a} = \frac{(x – a)(x + a)}{x – a}$$

• نختصر $x – a$ مع $x – a$، ويتبقى:

  $$x + a$$

• ثم نوجد النهاية بتعويض $x = a$.

مثلاً:

$$\lim_{{x \to a}} (x + a) = 2a$$

وبمساواتها بالعدد المعطى بالسؤال نوجد قيمة $a$.

مثال توضيحي (4):

إذا كانت:

$$\lim_{{x \to 1}} \frac{x^2 + 3x – 1}{x+2} = 2a + 3$$

المطلوب إيجاد $a$.

الحل:

نعوض مباشرة:

• نعوض $x = 1$ في البسط والمقام:

$$\frac{(1)^2 + 3(1) – 1}{1 + 2} = \frac{1 + 3 – 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$$

إذن:

$$1 = 2a + 3$$

نحل المعادلة:

$$2a = -2$$ $$a = -1$$

الإجابة:

قيمة $a = -1$.

الخلاصة:

• إذا ذكر في نص السؤال أن الغاية موجودة، يجب مساواة الغايتين اليمنى واليسرى.
• إذا كانت النهاية معطاة بعد تبسيط البسط والمقام، نختصر أولًا ثم نعوض.
• غالبًا نحتاج إلى معادلتين لإيجاد مجهولين.
• المجهول قد يظهر في بسط الدالة أو مقامها أو كعدد ثابت مضاف.