شرح تكامل حاصل ضرب دالتين أو قوسين للصف السادس الأدبي

مرحباً بطلاب الصف السادس الأدبي، نكمل معكم الفصل الرابع من مادة الرياضيات، الذي يتناول موضوع التكامل.
في المحاضرات السابقة، شرحنا:

• الحالة الأولى: تكامل الدوال الخطية.
• الحالة الثانية: تكامل قوس مرفوع إلى قوة.
• الحالة الثالثة: تكامل الدوال الجذرية مع تحليل وبدون تحليل.

واليوم ننتقل إلى الحالة الرابعة:
كيفية تكامل حاصل ضرب دالتين أو قوسين.

ملاحظة مهمة جدًا

لا يوجد طريقة مباشرة لتكامل حاصل ضرب دالتين.
لذلك نستخدم خاصية التوزيع، أي أننا نوزع عملية الضرب أولاً ثم نقوم بالتكامل.

خطوات تكامل حاصل ضرب دالتين

أولاً: استخدام خاصية التوزيع

• إذا كان لدينا مثلًا:

  $$\int (x^2 (2x + 3)) dx$$يجب أن نوزع الضرب أولاً:

  $$x^2 \times 2x = 2x^3$$ $$x^2 \times 3 = 3x^2$$فيصبح التكامل:

  $$\int (2x^3 + 3x^2) dx$$

ثانياً: تطبيق التكامل على كل حد

• نحذف رمز التكامل والدالة dx.
• نزيد الأس واحدًا ونقسم على الأس الجديد:

  $$\int 2x^3 dx = 2 \times \frac{x^4}{4}$$ $$\int 3x^2 dx = 3 \times \frac{x^3}{3}$$

ثالثاً: التبسيط

• نختصر حيث يمكن:

  $$\frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4$$ $$3x^3 / 3 = x^3$$

• وبالتالي الناتج:

  $$\frac{1}{2}x^4 + x^3 + C$$

أمثلة توضيحية

المثال الأول:

احسب:

$$\int (x^2(4x – 2) + (1)(4x – 2))dx$$

الحل:

• نوزع الضرب:

  $$x^2 \times 4x = 4x^3$$ $$x^2 \times (-2) = -2x^2$$ $$1 \times 4x = 4x$$ $$1 \times (-2) = -2$$

• يصبح التكامل:

  $$\int (4x^3 – 2x^2 + 4x -2)dx$$

• نكامل كل حد:

  $$\frac{4}{4}x^4 – \frac{2}{3}x^3 + \frac{4}{2}x^2 – 2x + C$$

• الناتج المبسط:

  $$x^4 – \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 – 2x + C$$

ملاحظة إضافية مهمة

لو واجهتك دوال جذرية، يجب تحويل الجذر إلى قوة قبل التكامل.
مثلاً:

$$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$$

مثال على الدوال الجذرية:

احسب:

$$\int (\sqrt{x}(x + 5))dx$$

• نوزع:

  $$\sqrt{x} \times x = x^{3/2}$$ $$\sqrt{x} \times 5 = 5x^{1/2}$$

• يصبح التكامل:

  $$\int (x^{3/2} + 5x^{1/2})dx$$

• نكامل كل حد:
  • $x^{3/2}$: نزيد الأس واحدًا:

    $$\frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$$ونقسم:

    $$\frac{2}{5}x^{5/2}$$

  • $5x^{1/2}$: نزيد الأس واحدًا:

    $$\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$$ونقسم:

    $$5 \times \frac{2}{3}x^{3/2}$$

• الناتج النهائي:

  $$\frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{10}{3}x^{3/2} + C$$

التعامل مع القوس المربع بالتكامل

قاعدة مربع حدّين:

عند وجود قوس تربيعي:

$$(a+b)^2$$

نفتح باستخدام القانون:

$$a^2 + 2ab + b^2$$

مثال:

احسب:

$$\int (x^3+1)^2 dx$$

• نفتح القوس:

  $$x^6 + 2x^3 + 1$$

• نكامل:

  $$\int (x^6 + 2x^3 + 1) dx$$ $$\frac{x^7}{7} + \frac{2x^4}{4} + x + C$$

• الناتج:

  $$\frac{1}{7}x^7 + \frac{1}{2}x^4 + x + C$$

ملحوظة خاصة بالتكامل إذا كان القوس تربيعي وجذري

• إذا صادفت قوس مرفوع إلى قوة مع جذر مثل:

  $$\sqrt{x}(x+2)^2$$تحل بالطريقة التالية:

  • فتح القوس بالتربيع باستخدام قانون مربع حدّين.
  • ضرب الجذر بالتوزيع على الحدود بعد فتح القوس.
  • تحويل الجذر إلى أسس.
  • جمع الحدود المشابهة إن وجدت.
  • التكامل باستخدام قاعدة زيادة الأس وتقسيمه على الأس الجديد.

أسئلة وأجوبة

س: لماذا لا نستطيع تكامل ضرب دالتين مباشرة؟
ج: لأن القاعدة الأساسية للتكامل تتطلب دالة واحدة، لذلك نحتاج إلى التوزيع أولاً.

س: متى أستخدم قانون مربع حدين بالتكامل؟
ج: إذا وجدت قوسًا مرفوعًا للأس 2، يجب عليك فتحه باستخدام قانون مربع حدين.

س: كيف أتعامل مع الجذور في التكامل؟
ج: حوّل الجذر إلى قوة أسية (مثلا جذر $x$ إلى $x^{1/2}$)، ثم أكمل التكامل بشكل طبيعي.

خلاصة المحاضرة

• لا يوجد تكامل مباشر لضرب دالتين → يجب التوزيع.
• إذا كان القوس تربيعي → افتحه باستخدام قانون مربع حدين.
• عند وجود جذور → حولها إلى أسس قبل التكامل.
• بعد التوزيع والتحويل، يتم التكامل لكل حد على حدة باستخدام قاعدة زيادة الأس وتقسيمه على الأس الجديد.
• لا تنسَ إضافة ثابت التكامل $+C$ بعد كل عملية تكامل.

الواجبات المطلوبة

حل تمارين كتاب الرياضيات صفحة 116:

• التمرين الأول
• التمرين الثاني
• التمرين الثالث
• التمرين رقم 16

يجب الانتباه إلى تطبيق ملاحظة (لا يوجد تكامل ضرب دالتين) في جميع التمارين.

تكامل حاصل ضرب دالتين أو قوسين – الصف السادس الأدبي

مقدمة الدرس

مرحباً طلاب الصف السادس الأدبي. نكمل معكم منهج الفصل الرابع من مادة الرياضيات، ونتناول اليوم الحالة الرابعة من التكامل وهي: تكامل حاصل ضرب دالتين أو قوسين.

في المحاضرات السابقة تعلمنا:

• الحالة الأولى: تكامل الدوال الخطية.
• الحالة الثانية: تكامل قوس مرفوع إلى قوة.
• الحالة الثالثة: تكامل الدوال الجذرية.

اليوم ننتقل إلى موضوع جديد مهم جداً للفهم والتطبيق.

الملاحظة الأساسية

ملاحظة: لا يوجد تكامل مباشر لحاصل ضرب دالتين. يجب أولاً استخدام خاصية التوزيع.

بمعنى آخر: قبل التكامل، عليك أن توزع القوسين أو الحدود حتى تحصل على دوال منفصلة، ثم تكامل كل حد على حدة.

طريقة الحل

أولاً: التوزيع

عند وجود تكامل لضرب دالتين، نوزع أولاً باستخدام خاصية التوزيع: $\int (x^2(2x+3))dx$

نقوم بالضرب:

• $x^2 \times 2x = 2x^3$
• $x^2 \times 3 = 3x^2$

فيصبح التكامل: $\int (2x^3 + 3x^2)dx$

ثانياً: التكامل لكل حد

نكامل كل حد على حدة:

• $\int 2x^3 dx = \frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4$
• $\int 3x^2 dx = \frac{3}{3}x^3 = x^3$

ونضيف ثابت التكامل $C$.

ثالثاً: الاختصار

نبسط الناتج إن أمكن: $\frac{1}{2}x^4 + x^3 + C$

أمثلة محلولة

مثال 1

احسب: $\int (x^2(4x-2) + (1)(4x-2))dx$

الحل:

نوزع أولاً:

• $x^2 \times 4x = 4x^3$
• $x^2 \times (-2) = -2x^2$
• $1 \times 4x = 4x$
• $1 \times (-2) = -2$

تصبح المسألة: $\int (4x^3 – 2x^2 + 4x -2)dx$

نكامل:

• $\int 4x^3 dx = x^4$
• $\int -2x^2 dx = -\frac{2}{3}x^3$
• $\int 4x dx = 2x^2$
• $\int -2 dx = -2x$

الناتج النهائي: $x^4 – \frac{2}{3}x^3 + 2x^2 – 2x + C$

ملاحظة خاصة بالدوال الجذرية

عند وجود جذور، يجب تحويلها إلى أسس قبل التكامل.

مثال:

احسب: $\int (\sqrt{x}(x+5))dx$

الحل:

تحويل الجذر إلى أس: $\sqrt{x} = x^{1/2}$

نوزع:

• $x^{1/2} \times x = x^{3/2}$
• $x^{1/2} \times 5 = 5x^{1/2}$

تصبح المسألة: $\int (x^{3/2} + 5x^{1/2})dx$

نكامل:

• $\int x^{3/2} dx = \frac{2}{5}x^{5/2}$
• $\int 5x^{1/2} dx = \frac{10}{3}x^{3/2}$

الناتج النهائي: $\frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{10}{3}x^{3/2} + C$

التعامل مع قوس تربيعي في التكامل

عند وجود قوس مرفوع للأس 2 مثل $(a+b)^2$، نستخدم قانون مربع حدين: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

مثال

احسب: $\int (x^3+1)^2 dx$

الحل:

نفتح القوس: $x^6 + 2x^3 + 1$

نكامل:

• $\int x^6 dx = \frac{1}{7}x^7$
• $\int 2x^3 dx = \frac{1}{2}x^4$
• $\int 1 dx = x$

الناتج النهائي: $\frac{1}{7}x^7 + \frac{1}{2}x^4 + x + C$

حل واجبات صفحة 116

التمرين الأول

احسب: $\int (x^2+1)(x-3) dx$

الحل:

نوزع:

• $x^2 \times x = x^3$
• $x^2 \times (-3) = -3x^2$
• $1 \times x = x$
• $1 \times (-3) = -3$

تصبح المسألة: $\int (x^3 -3x^2 + x -3)dx$

نكامل:

• $\int x^3 dx = \frac{1}{4}x^4$
• $\int -3x^2 dx = -x^3$
• $\int x dx = \frac{1}{2}x^2$
• $\int -3 dx = -3x$

الناتج: $\frac{1}{4}x^4 – x^3 + \frac{1}{2}x^2 – 3x + C$

التمرين الثاني

احسب: $\int (\sqrt{x})(x+4)dx$

الحل:

تحويل الجذر إلى أس: $x^{1/2}(x+4)$

نوزع:

• $x^{1/2} \times x = x^{3/2}$
• $x^{1/2} \times 4 = 4x^{1/2}$

تصبح المسألة: $\int (x^{3/2} + 4x^{1/2})dx$

نكامل:

• $\int x^{3/2} dx = \frac{2}{5}x^{5/2}$
• $\int 4x^{1/2} dx = \frac{8}{3}x^{3/2}$

الناتج: $\frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{8}{3}x^{3/2} + C$

التمرين الثالث

احسب: $\int (x-2)^2 dx$

الحل:

فتح القوس: $x^2 – 4x + 4$

نكامل:

• $\int x^2 dx = \frac{1}{3}x^3$
• $\int -4x dx = -2x^2$
• $\int 4 dx = 4x$

الناتج: $\frac{1}{3}x^3 – 2x^2 + 4x + C$

التمرين رقم 16

احسب: $\int \sqrt[3]{x}(x+1)dx$

الحل:

تحويل الجذر التكعيبي إلى أس: $x^{1/3}(x+1)$

نوزع:

• $x^{1/3} \times x = x^{4/3}$
• $x^{1/3} \times 1 = x^{1/3}$

تصبح المسألة: $\int (x^{4/3} + x^{1/3})dx$

نكامل:

• $\int x^{4/3} dx = \frac{3}{7}x^{7/3}$
• $\int x^{1/3} dx = \frac{3}{4}x^{4/3}$

الناتج: $\frac{3}{7}x^{7/3} + \frac{3}{4}x^{4/3} + C$